Maestra de Educación Primaria

VOLUMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCION
Los sólidos de revolución son sólidos que se generan al girar una región plana alrededor de un eje. Por ejemplo: el cono es un sólido que resulta al girarun triángulo recto alrededor de uno de sus catetos, el cilindro surge al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados.





Calculo de volúmenes
Método del disco.
Si giramosuna región del plano alrededor de un eje obtenemos un sólido de revolución. El volumen de este disco de radio R y de anchura ω es:
Volumen del disco = wR 2 π
Para ver cómo usar el volumendel disco y para calcular el volumen de un sólido de revolución general, se hacen n particiones en la gráfica.





Estas divisiones determinan en el sólido n discos cuya suma se aproximaal volumen del mismo. Teniendo en cuenta que el volumen de un disco es , la suma de Riemann asociada a la partición, y que da un volumen aproximado del sólido es:

Fórmula del volumen pordiscos
Por tanto, recordando la definición de integral definida de Riemann se obtiene que:

si se toma el eje de revolución verticalmente, se obtiene una fórmula similar:
COMO HALLARVÓLUMENES POR EL MÉTODO DEL DISCO (O ARANDELA)
1. Dibujar la región y trazar sobre esta un segmento que
sea PERPENDICULAR al eje de rotación. La región al hacerla girar alrededor del eje derotación generará una sección transversal típica en forma de disco o arandela dependiendo el caso.
2. Hallar: para el caso del disco el radio principal y para el caso de la arandela los radiosinterno y externo.
3. Establecer los límites de integración.
4. Por último integrar para hallar el volumen deseado.


EJEMPLO 1: La región entre la curva y el eje x se gira alrededor deleje x para generar un sólido. Hallar su volumen.
SOLUCIÓN: Ayudados por la sugerencia anterior
1. TRAZO DE LA REGIÓN Y DE LA SECCIÓN TÍPICA. Abajo se muestra la región R pedida:...