Maestro

Lecci´n 3 o

Tensiones
Contenidos
3.1. Concepto de tensi´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 3.2. Componentes del vector tensi´n . . . . . . . . . . . . . . o 3.3. Denominaci´n de las tensiones. Criterio de signos . . . . o 3.4. F´rmula de Cauchy. El tensor de tensiones . . . . . . . . o 3.5. Ecuaciones de equilibrio interno . . . . . . . . . . . . . . 3.6. Cambio de sistema dereferencia . . . . . . . . . . . . . . 3.7. Tensiones principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8. Valores m´ximos de las componentes intr´ a ınsecas de la tensi´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 26 27 28 28 30 34 35 37

3.9. Tensi´n plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 38 3.9.1. Curvas representativas de un estado tensional plano. . . . 40 3.10. Representaci´n del estado tensional en el entorno de un o punto. C´ ırculos de Mohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.10.1. Construcci´n del c´ o ırculo de Mohr en tensi´n plana . . . . . 41 o 3.10.2. Construcci´n de los c´ o ırculos de Mohr de un estado general de tensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.10.3. C´lculo gr´fico de las componentesintr´ a a ınsecas del vector tensi´n para una direcci´n dada . . . . . . . . . . . . . . . o o 3.11. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 44 45

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Apuntes de Elasticidad y Resistencia de Materiales

3.1

Concepto de tensi´n o

Al deformarse un s´lido bajo la acci´n de unas cargas, la variaci´n relativa de la o o o distancia entre las part´ ıculas que loconstituyen no es indefinida debido a la acci´n o de las fuerzas de atracci´n intermoleculares, a excepci´n de que se produzca la rotura o o del s´lido. o Sea un s´lido en equilibrio sometido a un sistema de fuerzas exteriores y a fuero zas por unidad de masa como se muestra en la Figura 3.1 a). Mediante un corte imaginario a dicho s´lido por una superficie arbitraria, como el que se muestra en la oFigura 3.1 b), se aisla un trozo de s´lido. En el interior del s´lido act´an las fuerzas o o u por unidad de masa correspondientes. En el contorno act´an fuerzas por unidad de u superficie que en la superficie de corte corresponden a la acci´n de cada una de las o dos partes en que se divide el s´lido sobre la otra. Por equilibrio, ambos conjuntos o de fuerzas por unidad de superficie han de seriguales y de sentidos contrarios.

Figura 3.1 Concepto de tensi´n: a) s´lido en equilibrio y b) secci´n de dicho s´lido o o o o Estas fuerzas por unidad de superficie no son fuerzas actuantes sobre el exterior del s´lido. Son fuerzas internas y resultantes a nivel macrosc´pico de las fuerzas o o intermoleculares que se oponen a las separaciones entre mol´culas del s´lido. No e o obstante, tanto lasfuerzas por unidad de superficie que act´an en el exterior del s´lido u o como estas fuerzas internas, tienen el mismo sentido f´ ısico: son fuerzas actuantes por unidad de superficie. Cada una de estas fuerzas recibe el nombre de vector tensi´n o − → y se denota como t . En el contorno exterior del s´lido, la superficie sobre la que act´an las fuerzas o u exteriores est´ perfectamente definida en cadapunto del mismo (el vector normal al a − → contorno en dicho punto es unico) y la tensi´n es una funci´n de punto t (x, y, z). ´ o o Sin embargo, para caracterizar el vector tensi´n en un punto interior del s´lido es o o
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necesario indicar el plano de corte, tangente a dicho punto, utilizado. Este plano → queda definido si seconoce su normal − . Es pues una hip´tesis aceptable considen o rar que el vector tensi´n asociado a un punto interior de un s´lido el´stico depende o o a del punto considerado y de la normal en tal punto al plano tangente considerado → − → tn (x, y, z, − ). Ya que por un punto pasan infinitos planos, habr´ infinitos vectores n a tensi´n asociados a un mismo punto. Cabe preguntarse ¿c´mo es posible...