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Teoremas de la suma y diferencia de ángulos
Pueden demostrarse según la Fórmula de Euler o mediante la proyección de ángulos consecutivos. La identidad de la tangente surge del cociente entrecoseno y seno, y las restantes de la recíproca correspondiente.



COMPROBACION PARA LA DIFERENCIA DE ANGULOS:
* SEN(X - Y)
Como la función seno es impar se tiene que sen (-x)= - sin x y como lafunción coseno es par se cumple que cos (-x)=cosx
Por lo tanto,
Sin(x-y)= sin(X + (-Y))= sin x cos (-y) + cos x sin (-y)
=sin x cos y + cos x (-siny)
Luego, sin(x-y)= sinxcosy - cosx sin y
*COS(X-Y)
Cos(x-y)= cos (x + (-y))= cos x cos (-y) - sinx sin (-y)
=cosx cosy- sin x (-siny)
Así cos(x - y)=cosx cosy+ sin x sin y
*TAN (X-Y)
La función tangente es impar, por lo tanto, tan (-x)=-tan.Entonces tan (x-y)=tan(x+ (-y))= tanx+tan (-y)/1- tanx tan (-y)
= tanx + (-tan y) / 1- tan x (-tan y)
Por lo tanto, tan(x-y) = tan x-tan y/ 1 + tanx tan y
De lo que se sigue para determinadosángulos suplementarios:


Para ángulos complementarios:








Para ángulos opuestos:
sin(-x)= -sin (x)
cos (-x)= cos (x)
tan (-x) = - tan (x)
csc (-x)= - csc (x)
sec (-x) = sec (x)cot (-x) = - cot (x)
Identidades del Ángulo Doble
Pueden obtenerse remplazándolo y por x (o sea sin(x + x) = sin (2x)) en las identidades anteriores, y usando Pitágoras para los dos últimos (a veceses útil expresar la identidad en términos de seno, o de coseno solamente), o bien aplicando la Fórmula de De Moivre cuando
n =2.
sin (2x)= 2 sin(x) cos (x)



A continuación demostraremos lasidentidades trigonométricas para el seno, coseno y tangente del ángulo mitad (en este orden).

Ángulo mitad

 

Para demostrar el seno del ángulo mitad lo primero que haremos será un cambio devariable. Diremos que  y a partir de aquí trabajaremos con el coseno del ángulo doble. (Usaremos el coseno porque la demostración sale mucho más sencilla)



Ahora, haciendo uso de la identidad...