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MATEMÁTICAS

TIMONMATE

EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES CON RAÍCES

ECUACIONES CON RADICALES
A. Introducción teórica
B. Ejercicios resueltos

A. INTRODUCCIÓN TEÓRICA

Las ecuaciones con radicales son aquellas en las que una o más incógnitas
están bajo un exponente integral.
El método general para resolverlas es el siguiente:
a) Aislar la incógnita elevada al exponente radical oel factor que la contiene
en uno de los dos miembros.
b) Deshacer la raíz elevando los dos miembros de la ecuación a un
exponente conveniente.
c) Despejar la incógnita ya sin exponentes distintos de 1.
Ejemplo:
2 + x−2 = 4
Solución:
Paso 1:

Dejamos aislado al factor que contiene a la x:
2 + x−2 = 4 ⇒ 2 + x−2 = 4−2 ⇒ x−2 = 2

Paso 2:

Eliminamos la raíz elevando los dos miembrosal exponente
conveniente:
2

x − 2 = 2 ⇒ ( x − 2 ) = 22 ⇒ x − 2 = 4 ⇒ x = 2
Paso 3:

Despejamos la x de forma usual:
x−2 = 4 ⇒ x = 2

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Ecuaciones con radicales resueltas

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B. Ejercicios resueltos

1. 4 x − 3 = 0
Solución:
Dejamos aislado en un miembro el factor que contiene a la x:
3
4 x −3 = 0 ⇒ x =
4
Elevamos los dos miembros de la ecuación a un exponenteque elimine la
raíz
2
2
 3 
9

( x ) =  4  ⇒ x = 16
2.

5−x −2=0
Solución:
Dejamos aislado en un miembro el factor que contiene a la x:
5−x − 2 = 0 ⇒ 5−x = 2
Elevamos los dos miembros de la ecuación a un exponente que elimine la
raíz:
2

5 − x = 2 ⇒ ( 5 − x ) = 22 ⇒ 5 − x = 4
Despejamos x de la forma usual:
5− x = 4 ⇒ x = 1

3.

x =5 3
Solución:
Elevamos los dosmiembros de la ecuación a un exponente que elimine la
raíz y despejamos x:
x =5 3⇒

4.

( x ) = (5 3 )
2

2

⇒ x = 25 ⋅ 3 ⇒ x = 75

3x + 2 − 2x + 7 = 0
Solución:
Eliminamos las raíces:

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Ecuaciones con radicales resueltas

2

2

3x + 2 − 2x + 7 = 0 ⇒ ( 3x + 2 ) = ( 2x + 7 ) ⇒ 3x + 2 = 2x + 7
Resolvemos la ecuación de grado uno de forma usual:
3x + 2 =2x + 7 ⇒ x = 5

5.

x − x−1 = 1
Solución:
Esta ecuación es más complicada que las anteriores. Pero al final se podrá
asimilar a ellas.
Lo primero que haremos será intentar eliminar alguno de los factores que
están bajo una raíz cuadrada:
2

2

x − x − 1 = 1 ⇒ x = 1 + x − 1 ⇒ ( x ) = (1 + x − 1 ) ⇒
2

x = 12 + 2 x − 1 + ( x − 1 ) ⇒ x = 1 + x − 1 + 2 x − 1 ⇒ 2 x − 1 = 0
Laecuación obtenida es fácil de resolver:
2

2 x − 1 = 0 ⇒ x − 1 = 0 ⇒ ( x − 1) = 0 ⇒ x − 1 = 0 ⇒ x = 1

2

6. 2(a − 2) 3 = 50
Solución:
Dejamos aislado en un miembro el factor que contiene a la incógnita, en
este caso a:
2
2
2
50
2(a − 2) 3 = 50 ⇒ (a − 2) 3 =
⇒ (a − 2) 3 = 25
2
Elevamos los dos miembros de la ecuación a un exponente que elimine la
raíz:
3

2 2
3

(a − 2) 3  =(52 )2 ⇒ a − 2 = 53




Despejamos la incógnita a de la forma usual:

a − 2 = 5 3 ⇒ a = 77

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Ecuaciones con radicales resueltas

7.

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x−3 + 5 = x
Solución:
Dejamos aislado en un miembro el factor que contiene a la incógnita:
x−3 + 5 = x ⇒ x−3 = x−5
Elevamos los dos miembros de la ecuación a un exponente que elimine la
raíz:
2

x − 3 = x − 5 ⇒ ( x − 3 )= (x − 5) ⇒ x − 3 = x 2 − 10x + 25 ⇒
2

⇒ x 2 − 11x + 28 = 0
Despejamos la incógnita x resolviendo esta ecuación de segundo grado:

11 ± 112 − 4 ⋅ 28 11 ± 9 x 1 = 7
=
⇒
x=
x 2 = 4
2
2
8.

2x + 1 − 4 3x + 4 = 0
Solución:
Mediante el menor número de pasos hay que eliminar las raíces. Eso se
consigue haciendo lo siguiente:
4

4

2x + 1 − 4 3x + 4 = 0 ⇒ 2x + 1 = 4 3x + 4⇒ ( 2x + 1 ) = ( 4 3x + 4 ) ⇒
2

⇒ (2x + 1) = 3x + 4
Hemos llegado a una ecuación de segundo grado que resolvemos de
forma usual:
2

2

(2x + 1) = 3x + 4 ⇒ (2x) + 4x + 1 = 3x + 4 ⇒ 4x 2 + x − 3 = 0 ⇒
2

x=

−1 ± (−1) − 4 ⋅ 4 ⋅ (−3)
2

=

−1 ± 49  x 1 = 3
⇒
x 2 = −4
2

No verifica la ecuación. No es solución.

9.

x − x−4 = 2
Solución:

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