Maestro
Páginas: 32 (7882 palabras)
Publicado: 25 de noviembre de 2012
El problema del área
En esta sección partimos de la base que el concepto de área es bien conocido. Esto no significa que el alumno deba tener una idea precisa y formal de dicho concepto, si no más bien que todos poseemos una idea intuitiva que no necesita aclaración.
El tipo de región más simple con el que nos podemos encontrar es un rectángulo, cuya área se define como el producto de subase por su altura. A partir de esta definición podemos obtener las fórmulas para el área de regiones más complicadas: triángulos, paralelogramos, polígonos regulares, etc. El gran problema se plantea cuando se intenta calcular el área de regiones más generales que las poligonales.
Los primeros matemáticos que intentaron resolver el problema de una forma seria fueron los griegos, utilizandoel método de “exhaución”. Este método, atribuido a Arquímedes, consiste en encajar la región entre dos polígonos, uno inscrito y otro circunscrito. Si la diferencia entre las áreas de los dos polígonos es pequeña, entonces podemos aproximar el área de la región por cualquier número comprendido entre el área del polígono inscrito y el área del polígono circunscrito.
El método que emplearemosaquí es parecido. Se trata de aproximar la región por una unión de rectángulos de tal forma que el área de la región se aproxime por la suma de las áreas de los rectángulos.
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INTRODUCCIÓN A LA INTEGRAL DEFINIDA
En los dos temas anteriores se ha hecho el estudio de las primitivas de una función, descubriendo distintosprocedimientos para el cálculo de primitivas, es decir, se han encontrado las integrales indefinidas de funciones sencillas. Sin embargo no quedan claros ni su significado ni su utilidad. Éstos son los objetivos de este tema, para lo cual se dará la interpretación que Riemann, matemático alemán, dio a conocer en el siglo XIX.
El cálculo de áreas de figuras como el cuadrado, el rectángulo, elrombo, etc., además de sencillo tiene un claro significado: el área de una figura es un número que coincide con el de cuadrados de lado unidad que recubren exactamente la figura. Se puede cuestionar entonces si cualquier figura tiene área y cómo se calcula.
Para responder a esta cuestión se puede empezar por tomar una función muy sencilla, por ejemplo f(x) = x, dibujarla en un sistema deejes cartesianos y tratar de calcular el área de la superficie limitada por la función, el eje de abscisas y la ordenada correspondiente a la abscisa x = 1.
Evidentemente, la superficie es un triángulo rectángulo de base 1 y altura también la unidad, por tanto su área es 1/2.
Es claro que este problema carece de toda dificultad. No obstante, se puede aprovechar susimplicidad para intentar obtener algo útil en otros casos menos sencillos.
[pic] Name=1; HotwordStyle=BookDefault; Si se divide el intervalo [0,1] en, por ejemplo, cuatro intervalos de igual longitud: [0, 1/4], [1/4, 2/4], [2/4, 3/4], [3/4, 4/4], y se trazan rectángulos como se observa en la figura, la suma de las áreas de los rectángulos rayados es menor que el área del triángulo; mientrasque la suma de las áreas de los rectángulos punteados, exceden al área del triángulo.
Calculando estas áreas se obtiene:
[pic]
Al área por defecto, 0,375, le falta mucho para llegar a 0,5; y el área por exceso, 0,625, se encuentra considerablemente lejos de 0,5.
[pic] Name=2; HotwordStyle=BookDefault; Ahora bien, si se divide en muchas más partes el intervalo[0, 1], parece lógico que las diferencias que han resultado en el caso anterior, tenderán a disminuir. Si se divide ahora el intervalo [0, 1] en n intervalos de longitud 1/n, la superficie que se «desperdicia» es menor, si n > 4.
Área por defecto:
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Área por exceso:
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Como los numeradores son progresiones...
En esta sección partimos de la base que el concepto de área es bien conocido. Esto no significa que el alumno deba tener una idea precisa y formal de dicho concepto, si no más bien que todos poseemos una idea intuitiva que no necesita aclaración.
El tipo de región más simple con el que nos podemos encontrar es un rectángulo, cuya área se define como el producto de subase por su altura. A partir de esta definición podemos obtener las fórmulas para el área de regiones más complicadas: triángulos, paralelogramos, polígonos regulares, etc. El gran problema se plantea cuando se intenta calcular el área de regiones más generales que las poligonales.
Los primeros matemáticos que intentaron resolver el problema de una forma seria fueron los griegos, utilizandoel método de “exhaución”. Este método, atribuido a Arquímedes, consiste en encajar la región entre dos polígonos, uno inscrito y otro circunscrito. Si la diferencia entre las áreas de los dos polígonos es pequeña, entonces podemos aproximar el área de la región por cualquier número comprendido entre el área del polígono inscrito y el área del polígono circunscrito.
El método que emplearemosaquí es parecido. Se trata de aproximar la región por una unión de rectángulos de tal forma que el área de la región se aproxime por la suma de las áreas de los rectángulos.
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INTRODUCCIÓN A LA INTEGRAL DEFINIDA
En los dos temas anteriores se ha hecho el estudio de las primitivas de una función, descubriendo distintosprocedimientos para el cálculo de primitivas, es decir, se han encontrado las integrales indefinidas de funciones sencillas. Sin embargo no quedan claros ni su significado ni su utilidad. Éstos son los objetivos de este tema, para lo cual se dará la interpretación que Riemann, matemático alemán, dio a conocer en el siglo XIX.
El cálculo de áreas de figuras como el cuadrado, el rectángulo, elrombo, etc., además de sencillo tiene un claro significado: el área de una figura es un número que coincide con el de cuadrados de lado unidad que recubren exactamente la figura. Se puede cuestionar entonces si cualquier figura tiene área y cómo se calcula.
Para responder a esta cuestión se puede empezar por tomar una función muy sencilla, por ejemplo f(x) = x, dibujarla en un sistema deejes cartesianos y tratar de calcular el área de la superficie limitada por la función, el eje de abscisas y la ordenada correspondiente a la abscisa x = 1.
Evidentemente, la superficie es un triángulo rectángulo de base 1 y altura también la unidad, por tanto su área es 1/2.
Es claro que este problema carece de toda dificultad. No obstante, se puede aprovechar susimplicidad para intentar obtener algo útil en otros casos menos sencillos.
[pic] Name=1; HotwordStyle=BookDefault; Si se divide el intervalo [0,1] en, por ejemplo, cuatro intervalos de igual longitud: [0, 1/4], [1/4, 2/4], [2/4, 3/4], [3/4, 4/4], y se trazan rectángulos como se observa en la figura, la suma de las áreas de los rectángulos rayados es menor que el área del triángulo; mientrasque la suma de las áreas de los rectángulos punteados, exceden al área del triángulo.
Calculando estas áreas se obtiene:
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Al área por defecto, 0,375, le falta mucho para llegar a 0,5; y el área por exceso, 0,625, se encuentra considerablemente lejos de 0,5.
[pic] Name=2; HotwordStyle=BookDefault; Ahora bien, si se divide en muchas más partes el intervalo[0, 1], parece lógico que las diferencias que han resultado en el caso anterior, tenderán a disminuir. Si se divide ahora el intervalo [0, 1] en n intervalos de longitud 1/n, la superficie que se «desperdicia» es menor, si n > 4.
Área por defecto:
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Área por exceso:
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Como los numeradores son progresiones...
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