Magia Cuadrada

SIGMA
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LA MAGIA DE LOS CUADRADOS MÁGICOS
Pedro Alegría (*)
El estudio de los llamados cuadrados mágicos ha estado siempre presente en la matemática
recreativa. No sólo su propiedad fundamental, “la suma de todos los números de cada fila, de
cada columna y de cada diagonal es constante”, sino que algunos de los métodos ideados para
su construcción son tan ingeniosos que merecen elapelativo de “mágicos”.
Los cuadrados mágicos han estado presentes en todas las épocas y culturas del conocimiento
humano, han sido objeto de veneración religiosa, se han utilizado como elementos mágicos y
místicos, han merecido un lugar destacado en diversas manifestaciones artísticas e industriales
e, incluso, han despertado el interés entre los más ilustres matemáticos a lo largo de la historia,no sólo por su componente recreativa o didáctica. Algunos de los resultados matemáticos
relativos a los cuadrados mágicos tienen aplicaciones importantes a diversos campos del
conocimiento científico.
Sin pretender aportar nuevas propiedades de estos elementos matemáticos, ofrecemos aquí
una exposición de algunas de sus peculiaridades y características principales y describiremos
algunasaplicaciones que justifiquen su apelativo de “mágicos”, no en el contexto de la magia
mística sino en el del ilusionismo. Este enfoque puede proporcionar una nueva manera de
introducir contenidos matemáticos en programas didácticos y divulgativos en diferentes etapas
de la formación educativa.

1. INTRODUCCIÓN
Por definición, un cuadrado mágico de orden n es un tablero cuadrado formado por nfilas
y n columnas en las que se escriben los n2 primeros números naturales, de modo que sea
constante la suma de los números de cualquier fila, cualquier columna y cualquiera de las dos
diagonales.
No es un ejercicio difícil determinar que dicho valor constante, llamado constante mágica, es
igual a n(n2+1)/2. Para obtener este resultado, basta dividir por n la suma de los n2 primeros
númerosnaturales.
En un contexto más general, utilizamos también el término cuadrado mágico incluso si se elimina la restricción de que la matriz esté formada por los n2 primeros números naturales.
Un caso particular de estos cuadrados mágicos generales, que se han puesto de moda con el
popular pasatiempo llamado SUDOKU, lo constituyen los cuadrados latinos. Un cuadrado
latino de orden n es untablero cuadrado formado por n filas y n columnas en las que se escriben n números distintos pero dispuestos de modo que cada número aparece una y sólo una
vez en cada fila y columna.
1

2

3

2

3

1

3

1

2

Ejemplo de cuadrado latino de orden 3

(*) Dpto. Matemáticas, Universidad del País Vasco.

Septiembre 2009 • 2009ko Iraila

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Pedro Alegría

Es famoso elproblema de los oficiales propuesto por Leonhard Euler en 1779, el cual ha sido
origen de importantes resultados en Combinatoria y Teoría de Grafos, así como en diseño de
experimentos estadísticos. El problema, cuya respuesta es negativa, se plantea como sigue:
"De cada uno de seis regimientos distintos se escogen seis oficiales de distinto rango, por
ejemplo general, coronel, capitán, teniente,alférez y sargento. Queremos colocar los 36 oficiales en seis filas de seis personas cada una de manera que en ninguna fila y ninguna columna
haya dos oficiales del mismo rango ni del mismo regimiento. ¿Es posible dicha disposición?"
En su aspecto recreativo, es también muy conocido el solitario de los naipes, cuya solución
animamos a descubrir. Su planteamiento es el siguiente:
"De una baraja seextraen las cuatro figuras, sota, caballo, rey y as de todos los palos. Se
pide colocar las 16 cartas formando un cuadrado 4 x 4 de modo que cada fila y columna
contenga únicamente una carta de cada valor y de cada palo".

2. ASPECTOS HISTÓRICOS
Los cuadrados mágicos se conocen desde la antigüedad (año 2800 a.C.) por los chinos. Se dice
que su origen se remonta a la leyenda del “Lo Shu”...