Magister En Ingenieria Matematica

Estudios Anal´
ıticos de
Sistemas de Sturm–Liouville

Misahel L´pez Dennis
o

2

Contenido
Prefacio

5

1 Introducci´n
o

7

1.1

7

1.1.1

Joseph Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.2
1.2

Introducci´n Hist´rica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
o

Jacques Charles Fran¸ois Sturm . . . . . . . . . . . . . 11
c

´Algebra Computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Definiciones y Teoremas

21

2.1

Definici´n de Sistemas de Sturm–Liouville . . . . . . . . . . . 21
o

2.2

Sistemas Regulares de Sturm–Liouville . . . . . . . . . . . . . 22

2.3

Sistemas Singulares de Sturm-Liouville . . . . . . . . . . . . . 25

2.4

Sistemas Peri´dicos de Sturm–Liouville . . . . . . . . .. . . . 26
o

2.5

Resultados Generales de Sistemas de SL . . . . . . . . . . . . 28

3 Soluci´n de Sistemas de SL
o

41

3.1

Problema de Oscilaciones Libres . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.2

Propiedades Importantes de Sistemas de SL . . . . . . . . . . 43

3.3

Problemas Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.4

Problema de SL y Ecuaci´nde Onda . . . . . . . . . . . . . . 50
o
3

4

CONTENIDO
3.5

Problema de SL y Ecuaci´n de Difusi´n . . . . . . . . . . . . . 53
o
o

3.6

Separaci´n de Variables y Problemas de SL . . . . . . . . . . . 56
o

4 Teor´ de Sturm–Liouville
ıa

71

4.1

Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
o

4.2

Teorema de Sturm–Liouville . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 79

4.3

Cota Inferior de Eigenvalores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

Conclusiones

99

Bibliograf´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
ıa

Prefacio
El objetivo de la presente tesis, como su nombre lo dice, es realizar un an´lisis
a
de sistemas de Sturm–Liouville, el an´lisis que se hace es acerca del comporatamiento de los eigenvalores y eigenfunciones de sistemas de Sturm–Liouville
Regulares. Poco a poco iremos descubriendo muchas propiedades acerca de
este tipo de ecuaciones. En el desarrollo de la tesis veremos un poco acerca
de c´mo surgi´ la teor´ de Sturm–Liouville, c´mo sus creadores fueron deso
o
ıa
o
cubriendo por separado esta interesante teor´ Luego veremos una secci´n de
ıa.
o
´lgebracomputacional, que nos ser´ de mucha ayuda al momento de resolver
a
a
los problemas mostrados en el transcurso de la tesis. Tambi´n veremos una
e
introducci´n a los sistemas de Sturm–Liouville mediante algunas definiciones
o
y teoremas los cuales nos ser´n de gran ayuda al resolver y analizar nuestros
a
problemas. Despu´s de ver un poco de definiciones y teoremas, veremos la
e
soluci´n dealgunos sistemas de Sturm–Liouville, problemas importantes de
o
la f´
ısica-matem´tica y adem´s daremos algunos ejemplos a considerar. Para
a
a
cerrar, veremos el teorema m´s importante de la teor´ de Sturm–Liouville,
a
ıa
el cual nos demuestra las propiedades m´s sobresalientes de este tipo de
a
sistemas, el Teorema de Sturm–Liouville.
En el Cap´
ıtulo 1 veremos una leveintroducci´n de c´mo surgi´ la teor´
o
o
o
ıa
de Sturm–Liouville. Tambi´n veremos una peque˜a biograf´ de cada uno de
e
n
ıa
los personajes que alcanzaron a desarrollar esta importante teor´ en la rama
ıa
de las ecuaciones diferenciales. Luego daremos a conocer una secci´n de
o
´lgebra computacional, donde se muestran algunas funciones b´sicas pero
a
a
muy importantes al momento de resolvernuestros problemas mostrados.
Cabe se˜alar que las funciones que se dan a conocer son del sistema Maple,
n
el cual ha sido de mucha importancia y ayuda para realizar los c´lculos
a
5

6

CONTENIDO

dif´
ıciles y engorrosos de algunos problemas. El apoyo que tomamos de Maple
es tambi´n para la realizaci´n de algunas gr´ficas que nos ayudar´n en la
e
o
a
a
visualizaci´n del...