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Cálculo de logaritmos (en base 10)
Para aproximar el logaritmo común o en base 10 con una o dos cifras significativas, se requiere conocer algunas propiedades de los logaritmos y la memorización de algunos logaritmos. En particular, es necesario saber lo siguiente:
log(ab) = log(a) + log(b)
log(a : b) = log(a) - log(b)
log(0) si existe
log(1) = 0
log(2) ~ 0,33
log(3) ~ 0,48
log(7) ~ 0,85log(10) = 1
Si a > b, forzosamente log(a) > log (b). En lenguaje matemático, se dice que la función logaritmo es creciente.
A partir de esta información, se puede calcular el logaritmo de cualquier número del 1 al 9:
log(1) = 0
log(2) ~ 0,30
log(3) ~ 0,48
log(4) = log(2 × 2) = log(2) + log(2) ~ 0,60
log(5) = log(10 : 2) = log(10) - log(2) ~ 0,70
log(6) = log(2 × 3) = log(2) + log(3) ~0,78
log(7) ~ 0,85
log(8) = log(2 × 2 × 2) = log(2) + log(2) + log(2) ~ 0,90
log(9) = log(3 × 3) = log(3) + log(3) ~ 0,96 (en realidad, se acerca más a 0,95)
log(10) = 1
El primer paso para aproximar el logaritmo común de un número es expresar dicho número en la notación científica. Por ejemplo, el número 45 en notación científica es 4,5 × 101. En general, tendremos un número de la forma a ×10b, donde a es un número entre 1 y 10. El segundo paso es utilizar lo que se llama interpolación lineal para estimar el logaritmo que queramos calcular a partir de dos ya conocidos. En el ejemplo del 45 (= 4,5 × 10), se parte de que log(4) ~ 0,60 y log(5) ~ 0,70, y como 4,5 está a medio camino entre 4 y 5, log(4,5) estará aproximadamente a medio camino entre log(4) y log(5), por tanto, seráaproximadamente 0,65. En realidad, el resultado correcto siempre es ligeramente mayor de lo esperado, de hecho, log(4,5) = 0,6532125... El tercer y último paso, una vez obtenido log(a), es sumarle b para obtener el logaritmo deseado. En este caso, como log(4,5) ~ 0,65, basta añadir 1 para obtener log(45) ~ 1,65. El valor real es log(45) ~ 1,6532125...
El mismo proceso se puede emplear para calcular ellogaritmo de un número entre 0 y 1. Por ejemplo, 0,045 en notación científica se expresa como 4,5 × 10-2. Hay que tener cuidado con este exponente, que es negativo. Esto dará lugar al resultado log(0,045) ~ 0,65 - 2 = -1,35.
Otro método es calcular el logaritmo del número a partir de una factorización de números cuyos logaritmos sean conocidos. En el ejemplo anterior, 45 = 9 × 5, por tanto,log(45) = log(9) + log(5) ~ 0,96 + 0,70 = 1,66.
[editar]Verificar el resultado
Hay varias formas de comprobar si el resultado al que se ha llegado es el correcto:
Orden de magnitud: Si, tras multiplicar dos números menores de 100, el resultado es mayor de 10.000, seguro que hay algún problema. En una multiplicación de dos factores, hay que comprobar que el resultado tiene un número de cifras igual, ouna unidad mayor (según el caso) que la suma de las cifras de los factores. A menudo los errores en el orden de magnitud se deben a una mala posición de uno de los números a la hora de sumar los productos parciales. Por ejemplo, multiplicar 65 × 205 en lugar de 65 × 25, o viceversa.
Cifra de las unidades: Consiste en comprobar que la última cifra del resultado es correcta vista la última cifrade cada uno de los números con que se parte. Por ejemplo, 73 × 64 debe terminar en 2, ya que 3 × 4 = 12. Esta verificación permite conocer una cifra con certeza.
Prueba del nueve: Esta verificación se basa en la suma de las cifras de cada uno de los factores y del resultado hasta que sólo queden números de una cifra. Por ejemplo, si nos queda 73 × 64 = 4662, podemos comprobar si es cierto sumandolas cifras de cada uno de los números:
7 + 3 = 10, 1 + 0 = 1
6 + 4 = 10, 1 + 0 = 1
4 + 6 + 6 + 2 = 18, 1 + 8 = 9
Sin embargo, 1 × 1 no es igual a 9, así que el resultado no es correcto. Habría que revisar de nuevo la multiplicación o realizarla de nuevo. (El resultado correcto es 4672) Este método es bueno para detectar errores de acarreo.
[editar]Conclusión
En general, el cálculo mental...