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I.E.S. FEDERICO MAYOR ZARAGOZA

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

TEMA 11. LÍMITES Y CONTINUIDAD
1. Función real de variable real
Una función es una relación entre dos magnitudes de manera que a cada elemento de la primera
maginitud se le asigna un único elemento de la segunda magnitud.
f : A →B
x → y = f ( x)

A: conjunto inicial
B:conjunto final
x : original
y : imagen
Si el conjuntoinicial y final es IR, la función se denomina real de variable real.
€
Dominio de una función
€
€
Se define el dominio de una función, D( f ) , como el conjunto formado por todos los origninales.
Para estudiar el dominio de una función real de variable real hay que prestar especial atención a las
siguientes funciones:
P( x)
• Función racional: € f ( x ) =
D( f ) = { x ∈ IR : Q( x ) ≠ 0}Q( x )
• Función irracional:

D( f ) = { x ∈ IR : g( x ) ≥ 0}

f ( x ) = g( x )

D( f ) = { x ∈ IR : g( x ) > 0}

• Función logarítimica: f ( x ) = Loga g( x )
€
€
2. Límite de una función
€
€
€
Idea intuitiva de límite de una función €

Observe la gráfica de la función f (x) =

1
( x + 2) 2

€

Se puede observar claramente que cuando los valores de x se “aproximan” a -2los valores de f (x)
se hacen cada vez mayores.
Esto se aprecia en la siguiente tabla de valores:
x
-1,9 -1,99 -1,999
f1(x) 100 10000 1000000

→ -2
→

←
←

€
-2,001
-2,01 -2,1
1000000 10000 100

Límite en un punto
€
€
Se dice que el límite de f ( x ) cuando x tiende a x 0 es L si para cualquier sucesión de valores ( x n )
€
€
que tienda a x 0 , la sucesión de sus imágenes,f ( x n ) , tiende a L . Se expresa de la siguiente forma

(

€

€

€

€

€

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES

€

)

€
lím f (x) = L

x → x0

€

€
Tema 7

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DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

Límites laterales
Se dice que el límite de f ( x ) cuando x tiende a x 0 por la derecha es L si para cualquier sucesión

(

)

devalores ( x n ) , con x n > x 0 , que tienda a x 0 , la sucesión de sus imágenes, f ( x n ) , tiende a L . Se
expresa de la siguiente forma:
€
€
€
€
€

€
€
lím+ f (x) = lím f ( x ) = L
x → x0

x → x0

x> x0

€

€

Se dice que el límite de f ( x ) cuando x tiende a x 0 por la izquierda es L si para cualquier sucesión

(

)

de valores ( x n ) , con x n < x 0 , que tiendaa x 0 , la sucesión de sus imágenes, f ( x n ) , tiende a L . Se
€
expresa de la siguiente forma:
€
€
lím f (x) = lím f ( x ) = L
€
€
x → x0
x → x0−
x< x0
€
€
€ • Una€
€
función tiene límite en un punto si existen sus límites laterales y coinciden.
Observe sobre el gráfico de la siguiente función:
€

lím f (x) = 0

lím f (x) = no existe

lím f (x) = 3

x → 2−

x → 2+x→2

Límite infinito en un punto
Se dice que el límite de f ( x ) cuando x tiende a x 0 es ±∞ si para cualquier sucesión de valores
€
€
€
x n ) que tienda a x 0 , la sucesión de sus imágenes, f ( x n ) , tiende a ±∞ . Se expresa de la siguiente
(

(

forma:
€

€

€

)

(x)
€ xlím f€ = ±∞
→x
0

Observe€ gráfica de la siguiente función:
la
€

€

€

lím f1 (x) = +∞lím f1 (x) = +∞

x → −2 −

€

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES

x → −2 +

€

Tema 7

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DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

Límites en el infinito
Se dice que el límite de f ( x ) cuando x tiende a ∞ es L si para cualquier sucesión de valores ( x n )

(

)

que tienda a ∞ , la sucesión de sus imágenes, f ( x n ) , tiende a L . Seexpresa de la siguiente forma:
€

€

€

€
lím f (x) = L

x→∞

€

€
€
€
Se dice que el límite de f ( x ) cuando x tiende a ∞ es L si para cualquier sucesión de valores ( x n )

(

)

que tienda a ∞ , la sucesión de sus imágenes, f ( x n ) , tiende a L . Se expresa de la siguiente forma:
€
€

€

€

€
lím f (x) = L

x → −∞

€

€
€
€
Propiedades de los límites...