Manofactura de circuitos integrados
Páginas: 12 (2799 palabras)
Publicado: 7 de julio de 2010
COMPENSADORES DE ADELANTO Y RETARDO
1
1.
Dise˜ o de un compensador de adelanto de n fase
El compensador de adelanto de fase persigue el aumento del margen de
fase mediante la superposici´n de la curva de fase del diagrama de bode o sobre el diagrama de bode del sistema a compensar. El diagrama de bode del compensador se sit´a de manera que el valor m´ximo de adelanto de fase u a(situado en la media geom´trica de las frecuencias w1 y w2 de la figura 1) se e encuentre donde se espera tener la frecuencia de cruce de ganancia.
Diagrama de bode de compensador de adelanto de fase 20 18 16 14 Magnitude (dB) Phase (deg) 12 10 8 6 4 2 0 60
30
w2 = 0.1 rad/s
0 10
−3
w1 = 1 rad/s
10
−2
10
−1
wm
10
0
10
1
10
2
Frequency (rad/sec)
Figura1: Diagrama de Bode de un compensador de adelanto de fase
COMPENSADORES DE ADELANTO Y RETARDO El compensador de adelanto de fase tiene la forma general Gcaf = Kc T s+1 αT s+1 con 0 < α < 1 1 √
2
La frecuencia donde se alcanza el m´ximo de adelanto de fase es ωm = a
T α 1 siendo la amplificaci´n a esta frecuencia de √ . o α Conviene tener en cuenta que el compensador de adelanto de fasesiempre
sumar´ ganancias positivas sobre el sistema original (ver figura 5), llevana do hacia la derecha la frecuencia de cruce de ganancia. Esto originar´ que a el margen de fase aumente menos de lo esperado. Un adecuado dise˜o del n compensador supone que ωm es suficientemente mayor que las frecuencias caracter´ ısticas del sistema. De esta forma, la ganancia positiva aportada por el a ısticasdel sistema compensador no ser´ muy grande a las frecuencias caracter´ y el desplazamiento hacia la izquierda de la frecuencia de cruce de ganancia no ser´ significativo. La disminuci´n del margen de fase respecto de lo espea o rado se compensa con un cierto margen adicional entre 5o y 12o , tal como se ver´ en el ejemplo siguiente. a
1.1.
Ejemplo
Ejemplo de la p´gina 624 de Ogata. a Parael sistema con funci´n de transferencia o G1 (s) = 4 s (s + 2)
se quiere dise˜ar un compensador para el sistema de modo que la constante n
COMPENSADORES DE ADELANTO Y RETARDO
3
de error est´tico de velocidad Kv sea de 20 s−1 , el margen de fase sea al menos a de 50o y el margen de ganancia sea al menos de 10 dB. En primer lugar se obtiene la constante del compensador, comprobando sisimplemente con un controlador proporcional en bucle cerrado podr´ ıamos cumplir con las especificaciones. Si no es as´ el valor que se obtiene de cumplir ı, con la especificaci´n de la constante est´tica (en este caso de velocidad) ser´ la o a a constante Kc que habr´ de tener el compensador. a Kv = l´ s Kc G1 (s) = Kc · 2 ım
s→0
Luego Kc = 10. Con este valor, se comprueba si el sistemaoriginal junto con esta ganancia cumple las especificaciones del margen de fase y ganancia, para lo que se traza su diagrama de Bode (fig. 2). Se ve que el margen de ganancia es infinito, lo que es propio de sistemas de orden uno o dos. El margen de fase es aproximadamente 18o . La frecuencia de cruce de ganancia es 6,16 rad/s. Como esta frecuencia es suficientemente mayor que las frecuencias caracter´ısticas del sistema original, se supone un a o margen adicional sobre el margen de fase de 5o . Si estuviera m´s pr´ximo, habr´ que subir hasta 12o . Por tanto el margen de fase que el compensador ıa debe aportar es el margen de fase especificado, m´s el adicional, menos el a original
comp esp orig adic Mφ = Mφ + Mφ − Mφ = 37o
Se puede demostrar que el valor de α para el compensador es tal que
compsin Mφ =
1−α 1+α
COMPENSADORES DE ADELANTO Y RETARDO
Diagrama de bode de G1(s) = 40/s/(s+2) 50
4
25 Magnitude (dB) Phase (deg)
0
−25
−50 −90
−120
−150
−180 10
−1
10
0
10 Frequency (rad/sec)
1
10
2
Figura 2: Diagrama de Bode del sistema con Kc · G1 (s) = con lo que α = 0,2482.
40 s (s + 2)
El ´ngulo de adelanto de fase m´ximo se da en...
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1.
Dise˜ o de un compensador de adelanto de n fase
El compensador de adelanto de fase persigue el aumento del margen de
fase mediante la superposici´n de la curva de fase del diagrama de bode o sobre el diagrama de bode del sistema a compensar. El diagrama de bode del compensador se sit´a de manera que el valor m´ximo de adelanto de fase u a(situado en la media geom´trica de las frecuencias w1 y w2 de la figura 1) se e encuentre donde se espera tener la frecuencia de cruce de ganancia.
Diagrama de bode de compensador de adelanto de fase 20 18 16 14 Magnitude (dB) Phase (deg) 12 10 8 6 4 2 0 60
30
w2 = 0.1 rad/s
0 10
−3
w1 = 1 rad/s
10
−2
10
−1
wm
10
0
10
1
10
2
Frequency (rad/sec)
Figura1: Diagrama de Bode de un compensador de adelanto de fase
COMPENSADORES DE ADELANTO Y RETARDO El compensador de adelanto de fase tiene la forma general Gcaf = Kc T s+1 αT s+1 con 0 < α < 1 1 √
2
La frecuencia donde se alcanza el m´ximo de adelanto de fase es ωm = a
T α 1 siendo la amplificaci´n a esta frecuencia de √ . o α Conviene tener en cuenta que el compensador de adelanto de fasesiempre
sumar´ ganancias positivas sobre el sistema original (ver figura 5), llevana do hacia la derecha la frecuencia de cruce de ganancia. Esto originar´ que a el margen de fase aumente menos de lo esperado. Un adecuado dise˜o del n compensador supone que ωm es suficientemente mayor que las frecuencias caracter´ ısticas del sistema. De esta forma, la ganancia positiva aportada por el a ısticasdel sistema compensador no ser´ muy grande a las frecuencias caracter´ y el desplazamiento hacia la izquierda de la frecuencia de cruce de ganancia no ser´ significativo. La disminuci´n del margen de fase respecto de lo espea o rado se compensa con un cierto margen adicional entre 5o y 12o , tal como se ver´ en el ejemplo siguiente. a
1.1.
Ejemplo
Ejemplo de la p´gina 624 de Ogata. a Parael sistema con funci´n de transferencia o G1 (s) = 4 s (s + 2)
se quiere dise˜ar un compensador para el sistema de modo que la constante n
COMPENSADORES DE ADELANTO Y RETARDO
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de error est´tico de velocidad Kv sea de 20 s−1 , el margen de fase sea al menos a de 50o y el margen de ganancia sea al menos de 10 dB. En primer lugar se obtiene la constante del compensador, comprobando sisimplemente con un controlador proporcional en bucle cerrado podr´ ıamos cumplir con las especificaciones. Si no es as´ el valor que se obtiene de cumplir ı, con la especificaci´n de la constante est´tica (en este caso de velocidad) ser´ la o a a constante Kc que habr´ de tener el compensador. a Kv = l´ s Kc G1 (s) = Kc · 2 ım
s→0
Luego Kc = 10. Con este valor, se comprueba si el sistemaoriginal junto con esta ganancia cumple las especificaciones del margen de fase y ganancia, para lo que se traza su diagrama de Bode (fig. 2). Se ve que el margen de ganancia es infinito, lo que es propio de sistemas de orden uno o dos. El margen de fase es aproximadamente 18o . La frecuencia de cruce de ganancia es 6,16 rad/s. Como esta frecuencia es suficientemente mayor que las frecuencias caracter´ısticas del sistema original, se supone un a o margen adicional sobre el margen de fase de 5o . Si estuviera m´s pr´ximo, habr´ que subir hasta 12o . Por tanto el margen de fase que el compensador ıa debe aportar es el margen de fase especificado, m´s el adicional, menos el a original
comp esp orig adic Mφ = Mφ + Mφ − Mφ = 37o
Se puede demostrar que el valor de α para el compensador es tal que
compsin Mφ =
1−α 1+α
COMPENSADORES DE ADELANTO Y RETARDO
Diagrama de bode de G1(s) = 40/s/(s+2) 50
4
25 Magnitude (dB) Phase (deg)
0
−25
−50 −90
−120
−150
−180 10
−1
10
0
10 Frequency (rad/sec)
1
10
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Figura 2: Diagrama de Bode del sistema con Kc · G1 (s) = con lo que α = 0,2482.
40 s (s + 2)
El ´ngulo de adelanto de fase m´ximo se da en...
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