manos milagorsas


Interpretación de la derivada


Interpretación geométrica de la derivada

Cuando h tiende a 0, el punto Q tiende a confundirse con el P. Entonces la recta secante tiende a serla recta tangente a la función f(x) en P, y por tanto el ángulo α tiende a ser β.


La pendiente de la tangente a la curva en un punto es igual a la derivada de la función en ese punto.
mt = f'(a)


EjemplosDada f(x) = x2, calcular los puntos en los que la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante.
La ecuación de la bisectriz del primer cuadrante es y = x, por tanto su pendiente esm= 1.
Como las dos rectas son paralelas tendrán la misma pendiente, así que:
f'(a) = 1.
Dado que la pendiente de la tangente a la curva es igual a la derivada en el punto x = a.






Dada lacurva de ecuación f(x) = 2x2 − 3x − 1, halla las coordenadas de los puntos de dicha curva en los que la tangente forma con el eje OX un ángulo de 45°.








Determinar los valores delparámetro b, para qué las tangentes a la curva de la función f(x) = b2x3 + bx2 + 3x + 9 en los puntos de abscisas x = 1, x = 2 sean paralelas.
Para que sean paralelas se tiene que cumplir que lasderivadas en x = 1 y x = 2 sean iguales.
f'(1) = f'(2)
f'(x) = 3b2x2 + 2bx + 3
f'(1) = 3b2 + 2b + 3
f'(2) = 12b2 + 4b + 3
3b2 + 2b + 3 = 12b2 + 4b + 3
9b2 + 2b = 0
b = 0 b = −2/9


Interpretaciónfísica de la derivada
Velocidad media
La velocidad media es el cociente entre el espacio recorrido (Δe) y el tiempo transcurrido (Δt).




Velocidad instantánea
La velocidad instantánea es ellímite de la velocidad media cuando Δt tiende a cero, es decir, la derivada del espacio respecto al tiempo.




Ejemplo
La relación entre la distancia recorrida en metros por un móvil y el tiempo ensegundos es e(t) = 6t2. Calcular:
1 la velocidad media entre t = 1 y t = 4.
La velocidad media es el cociente incremental en el intervalo [1, 4].

2 La velocidad instantánea en t = 1.
La...