Mantenimiento Electromecánico
Algebra de Boole/Automatismos cableados
Álgebra de Boole
Automatismos cableados
Prof. José A. Rodríguez Mondéjar
UPCO ICAI Departamento de Electrónica y Automática 1
Automatización Industrial
Algebra de Boole/Automatismos cableados
Introducción
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Se ha modelado la realidad como 0’s y 1’s
La salida es una función de las entradas¿Cómo se forma la función?
– Álgebra de Boole
¿Cómo se simplifica?
– Álgebra de Boole
¿Cómo se implanta?
– Depende de la tecnología elegida
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Algebra de Boole/Automatismos cableados
Algebra de Boole
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Un álgebra está definida por:
– Un conjunto deelementos Κ
– Un conjunto de operaciones Φ que actúan sobre los miembros de
Κ y que cumplen unas ciertas propiedades
El Algebra de Boole (caso más simple) se define por:
– Un conjunto B con sólo dos elementos {0,1}
– Un conjunto de operaciones (lógicas) {+,·,’} definidas sobre B
• 2 operaciones binarias (f(x,y)):
– (+) función suma, función O, función OR
– (·) función multiplicación, funciónY, función AND
• 1 operación monaria (f(x)):
– (‘ ó ¯) función negación, función NO, función NOT
– tales que para x,y,z ∈ B se cumplen las siguientes propiedades:
• Postulados de Huntington
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Postulados (axiomas) de Huntington•
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Conjunto cerrado:
– x·y ∈ B, x+y ∈ B, x’ ∈ B
Ley conmutativa:
– x+y=y+x
– x·y=y·x
Ley asociativa:
– (x+y)+z=x+(y+z)
– (x·y)·z=x·(y·z)
Ley distributiva:
– (x+y)·z=x·z+y·z
– x+y·z=(x+y)·(x+z)
Complemento
– x+x’=1
– x·x’=0
•
En la siguiente transparencia
se definen las operaciones
básicas. Todas ellas cumplen
los postulados de
Huntington. Puedehaber otra
definición que también los
cumpla.
Identidad:
– x+0=x
– x·1=x
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Definición operaciones básicas/tablas de verdad
•
Función suma lógica, O o OR
b
•
c = a+b
a+b
0
1
1
1
a
0
0
1
1
b0
1
0
1
a·b
0
0
0
1
a’
1
0
¡¡ 1 + 1 = 1 !!
– Para activar la salida, a o b
tienen que estar activas
Función producto lógico, Y o
AND
a
b
•
b
0
1
0
1
a
0
1
a
a
0
0
1
1
c = a·b
– Para activar la salida, a y b
tienen que estar activas
Función complemento, NO o
NOT
a
b = a’
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Variables, expresiones lógicas, tablas de verdad
•
•
Variable lógica (booleana)
– Variable perteneciente a B
– Por tanto, sólo puede tener dos
valores: 0 y 1
x
•
• f = xy+xy’z+x’yz (· implícito)
• Tabla de verdad equivalente a la
anterior.
• Formas estándar derepresentación:
– Producto de sumas
– Suma de productos
Tabla de verdad (con todas las
posibilidades) y expresión lógica
son equivalentes entre sí.
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f
0
0
0
0
– Combinación de variables lógicas
pertenecientes a B y de operaciones
lógicas (+ paréntesis):
z
0
Expresión (función) lógica
(booleana)
y
0
1
0
0
1
0
00
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
A una misma tabla de la verdad
le corresponden varias expresiones
lógicas
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Equivalencia entre expresiones
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Dos expresiones son equivalentes si sus...
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