manual de algebra

UNIDAD IV
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Y DETERMINANTES
pág.
4.1 Determinantes y sus propiedades 3
4.2 Determinantes e inversas. 5
4.3 Regla de Cramer 6
4.4 Matrices, sistema de Ecuaciones Lineales y su Clasificación. 7
4.5 Eliminación Gausseana 12
4.6 Eliminación de Gauss-Jordan 19
4.7 Calculo de la inversa de una Matriz.Método de cofactores. Gauss jordan 21
4.8 Sistemas Homogéneos 32
DETERMINANTES Y SUS PROPIEDADES
1.|At|= |A|
El determinante de una matriz A y el de su traspuesta At son iguales.
A= =
A= =
A= =
A= =
2. |A|=0    Si:
Posee dos líneas iguales
A==0
Todos los elementos de una línea son nulos.
A==0
Los elementos de una línea son combinación lineal de las otras.
A==0F3 = F1 + F2
3. Un determinante triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.
A==
4. Si en un determinante se cambian entre sí dos líneas paralelas su determinante cambia de signo.
=-
5. Si a los elementos de una línea se le suman los elementos de otra paralela multiplicados previamente por un nº real el valor del determinante no varía.
=16 =2+=16
6. Si se multiplica un determinante por un número real, queda multiplicado por dicho número cualquier línea, pero sólo una.
2==
7. Si todos los elementos de una fila o columna están formados por dos sumandos, dicho determinante se descompone en la suma de dos determinantes.

8. |A·B| =|A|·|B|
El determinante de un producto es igual al producto de los determinantes.

DETERMINANTESE INVERSAS



Teorema:
Si A es una matriz invertible, entonces el det A ≠ 0 y



Definición: Sea A una matriz n x n y B una matriz de los cofactores de A. Entonces el adjunto de A, representado por adj. A es la traspuesta de la matriz B.




Teorema:
Sea A una matriz n x n. Entonces A es invertible si y sólo si el det A ≠ 0. Si el detA ≠ 0, entonces

Ejemplo:Ejercicio: Indica si la matriz B es invertible y de serlo halla B-1:



















REGLA DE CRAMER
La regla de Cramer sirve para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Se aplica a sistemas que cumplan las dos condiciones siguientes:
El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas.
El determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero.Tales sistemas se denominan sistemas de Cramer.
Sean:
Δ 1, Δ 2, Δ 3... , Δ n
Los determinantes que se obtiene al sustituir los coeficientes del 2º miembro (los términos independientes) en la 1ª columna, en la 2ª columna, en la 3ª columna y en la enésima columna respectivamente.
Un sistema de Cramer tiene una sola solución que viene dada por las siguientes expresiones:
= == =







MATRICES Y SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
La matriz ampliada M de un sistema de m ecuaciones con n incógnitas es la siguiente:

Cada fila de M corresponde a una ecuación del sistema y cada columna a los coeficientes de una incógnita, excepto la última, que corresponde a las constantes del sistema.
Un sistema de ecuaciones lineales puede resolversetrabajando con su matriz ampliada, específicamente, reduciéndola a forma escalonada mediante el proceso de Gauss.
Método de Gauss
Para resolver sistemas de ecuaciones lineales, se aplica el método de Gauss. Este proceso se ilustra en el siguiente ejemplo.
Ejemplo:
Sea el sistema,

su matriz ampliada asociada es

Ahora resolvemos por el método de Gauss sabiendo que la primera columnacorresponde a los coeficientes de la x, la segunda a los de la y, la tercera a los de la z y la cuarta a los términos independientes:






De este modo, el sistema tiene la solución única
x = 2, y = -1, z = 3.
La resolución de sistemas de ecuaciones lineales por matrices, aplicando el método de Gauss u otros, es una de las múltiples aplicaciones que tienen éstas.
Ejercicio: resolución de...