Manual de cónicas - PUCP

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ

MATEMÁTICAS BÁSICAS

Solucionario de Prácticas y Exámenes
Jack Arce Flores
Jenniel Ruiz Herrera
Alfredo Velásquez Flores

Lima-Perú
2013

Presentación
El curso de Matemáticas Básicas es un curso obligatorio para todas las especialidades, en el plan de Estudios Generales de Ciencias de la Pontificia Universidad Católica
del Perú. Por ende ycon el fin de que los alumnos cuenten con material adicional que les
sirva de ayuda en su proceso de aprendizaje, tenemos el agrado de presentar el manual
de prácticas y exámenes del curso de Matemáticas Básicas, el cual ha sido compendiado
por ciclos. Dicho manual consiste en el enunciado y la solución de los problemas que se
tomaron en prácticas y exámenes del curso en ciclos pasados y quefueron propuestos
por los docentes que estaban a cargo del curso.
Cabe indicar que el alumno deberá complementar su preparación con ejercicios y
problemas de los textos que constituyen la bibliografía del curso.
Agradecemos a Estudios Generales de Ciencias por las facilidades brindadas para la
realización de este material.
Los autores

Índice general
Presentación

3

1. Geometríaanalítica plana

7

2. Números complejos

67

3. Matrices

79

4. Vectores

91

Capítulo 1
Geometría analítica plana
1. [2010-1-P2]. Sea el triángulo ABC con vértices A(0, 0), B(5, 0) y C(3, 2). Se toma
un punto M sobre el segmento BC. Desde M se traza la perpendicular sobre el
lado AC; al pie de dicha perpendicular se le denota por N . Y desde M se traza la
perpendicular sobreel lado AB; al pie de dicha perpendicular se le denota P .
a) Halle la ecuación del lugar geométrico del punto medio de N P , cuando M se
mueve sobre la recta BC.
b) Grafique el lugar geométrico determinado en a).
Solución.
La recta LBC que contiene a los vértices B y C tiene ecuación:
LBC : y + x − 5 = 0
Si M es un punto sobre el segmento BC, entonces M ∈ LBC y tiene coordenadas
M (m, 5 −m). Por otro lado, las rectas LAC que contiene a los vértices A y C es
LAC : 3y − 2x = 0 y la recta LAB que pasa por los vértices A y B es LAB : y = 0,
entonces las coordenadas de los puntos N y P son:
(
)
2
N n, n ∈ LAC y P (p, 0) ∈ LAB
3
Además el segmento M N es perpendicular a la recta LAC , entonces
2
n
3

− (5 − m)
3
=−
n−m
2

3
de donde n = 13 (m + 10). El segmento M P esperpendicular a la recta horizontal
LAB , entonces la recta que contiene a los puntos M y P es vertical, por consiguiente
p = m.
Si Q(x, y) es el punto medio del segmento N P , entonces:
3
(m
13

+ 10) + m
x=
; y=
2
De donde se tendrá que: 8y − x − 5 = 0.

2
(m
13

+ 10)
;
2

8

CAPÍTULO 1. Geometría analítica plana
2. [2010-1-P2]. Sean O el origen de coordenadas, A unpunto en el semieje positivo de
las abscisas y, B y C puntos en el primer cuadrante. Si el ángulo OAB mide 120o
( √ )
9
y las diagonales del rombo OABC se intersecan en el punto M 2 , 3 2 3 , responda
lo siguiente:
a) Halle las coordenadas de los vértices A, B y C.
b) Halle la ecuación de la circunferencia de radio 1 y tangente al lado OC en el
punto medio de dicho segmento. (Dar todas lasposibles respuestas).
Solución
a) Las diagonales del rombo OABC son perpendiculares y se interceptan en
( √ )
M 9 , 3 2 3 punto medio de las diagonales AC y OB, entonces el punto B
2
√
tiene coordenadas B(9, 3 3). Por otro lado, el ángulo de inclinación de la
recta LOC que pasa por los puntos O y C es αOC = 60o y tiene ecuación
√
LOC : y = 3 x
Como la diagonal AC es perpendicular a larecta LOB , entonces la ecuación
de la recta que contiene a la diagonal AC es
√
(
)
√
3 3
9
LAC : y −
=− 3 x−
2
2
El punto C es el punto de intersección de las rectas LOC y LAC , entonces tiene
√
como coordenadas C(3, 3 3), ahora aprovechamos que M es punto medio del
segmento AC y obtenemos las coordenadas A(6, 0)
( √ )
b) El punto medio del segmento OC es Q 3 , 3 2 3 . Ahora...