manual de matematicas

Matrices, determinantes y
sistemas de ecuaciones
1.1 Problemas PAU
Junio 94:
Un grupo de personas se reune para ir de excursión, juntándose un total
de 20 entre hombres, mujeres y niños. Contando hombres y mujeres juntos,
su número resulta ser el triple del número de niños. Además, si hubiera
acudido una mujer más, su número igualaría al del hombres.
a) Plantear un sistema para averiguarcuántos hombres, mujeres y niños
han ido de excursión.
b) Resolver el problema.
Solución:
Apartado a:
Si llamamos x, y, z, al número de hombres, mujeres y niños, respectivamente,
que fueron de excursión, tendremos: 


x + y + z = 20
x + y = 3z
y + 1 = x
; ordenamos:


x + y + z = 20
x + y − 3z = 0
−x + y = −1
Apartado b:
Para estudiar la compatibilidad del sistema,escribimos la matriz de los
coeficientes M y la matriz ampliada con los términos independientes Ma:
M =


1 1 1
1 1 −3
−1 1 0

 Ma =


1 1 1 20
1 1 −3 0
−1 1 0 −1


Como |M| =
¯¯¯¯¯¯
1 1 1
1 1 −3
−1 1 0
¯¯¯¯¯¯
= 8 6= 0 → r(M) = r(Ma) = 3 → S.C.D.
Resolvemos el sistema utilizando la regla de Cramer; para ello calculamos
los valores de:
|Mx| =
¯¯¯¯¯¯
20 1 1
0 1 −3
−1 10
¯¯¯¯¯¯=
64; |
My |
=
¯¯¯¯¯¯
1 20 1
1 0 −3
−1 −1 0
¯¯¯¯¯¯
= 56;
|Mz | =
¯¯¯¯¯¯
1 1 20
1 1 0
−1 1 −1
¯¯¯¯¯¯
= 40
x = |Mx|
|M|
= 64
8 = 8; y = |My |
|M|
= 56
8 = 7; z = |Mz |
|M|
= 40
8 = 5
Luego, habrán asistido 8 hombres, 7 mujeres y 5 niños a la excursión.
2 1. Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones
Septiembre 94:
Cierto estudiante obtuvo, en un controlque constaba de 3 preguntas, una
calificación de 8 puntos. En la segunda pregunta sacó dos puntos más que
en la primera y un punto menos que en la tercera.
a) Plantear un sistema de ecuaciones para determinar la puntuación
obtenida en cada una de las preguntas.
b) Resolver el sistema.
Solución:
Apartado a:
Si llamamos x, y, z, a la puntuación obtenida en cada pregunta, respectivamente,tendremos: 


x + y + z = 8
y = x + 2
y = z − 1
, ordenamos:


x + y + z = 8
−x + y = 2
y − z = −1
Apartado b:
Para estudiar la compatibilidad del sistema, escribimos la matriz de los
coeficientes M y la matriz ampliada con los términos independientes Ma:
M =


1 1 1
−1 1 0
0 1 −1

 Ma =


1 1 1 8
−1 1 0 2
0 1 −1 −1


|M| =
¯¯¯¯¯¯
1 1 1
−1 1 0
0 1 −1¯¯¯¯¯¯
= −3 6= 0 → r(M) = r(Ma) = 3 → S.C.D.
Resolvemos el sistema utilizando la regla de Cramer; para ello calculamos
los valores de:
|Mx| =
¯¯¯¯¯¯
8 1 1
2 1 0
−1 1 −1
¯¯¯¯¯¯
= −3; |My| =
¯¯¯¯¯¯
1 8 1
−1 2 0
0 −1 −1
¯¯¯¯¯¯=
−
9;
|Mz | =
¯¯¯¯¯¯
1 1 8
−1 1 2
0 1 −1
¯¯¯¯¯¯
= −12
x = |Mx|
|M|
= −3
−3 = 1; y = |My |
|M|
= −9
−3 = 3; z = |Mz |
|M|
= −12
−3 = 4
Luego,habrá obtenido 1 punto en la primera pregunta, 3 en la segunda
y 4 en la tercera.
Septiembre 94 (bis):
Sea la matriz A de coeficientes asociada a cierto sistema de ecuaciones
lineales y B la matriz de sus términos independientes:
A =
μ
a −2
a a − 1
¶
B =
μ
4
4
¶
a) Plantea algebraicamente el sistema indicando las operaciones hechas.
b) Discute su compatibilidad e interpreta losresultados obtenidos.
Solución:
Apartado a:
El sistema expresado en forma matricial, será:
1. Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones 3
μ
a −2
a a − 1
¶
·
μ
x
y
¶
=
μ
4
4
¶
Efectuando el producto de matrices, y aplicando la definición de igualdad
de dos matrices, obtendremos el sistema pedido:
½
ax − 2y = 4
ax + (a − 1) y = 4
.
Apartado b:
Para estudiar lacompatibilidad del sistema, escribimos la matriz de los
coeficientes M y la matriz ampliada con los términos independientes Ma:
M =
μ
a −2
a a − 1
¶
Ma =
μ
a −2 4
a a −1 4
¶
Analizamos los valores críticos haciendo |M| = 0
|M| =
¯¯¯¯
a −2
a a − 1
¯¯¯¯
= 0 → a2 + a = 0; a (a + 1) = 0 → a1 = 0; a2 = −1
• Si a 6= 0 y a6= −1
|M| 6= 0 → r(M) = r(Ma) = 2 → S.C.D. (solución única).
• Si a =...