Manual De Matematicas

Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas (UPC) Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles - Matemáticas

MATEMÁTICAS

CUADERNO AUTOINSTRUCTIVO DE DEFINICIÓN DE NIVELES

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SUMARIO

Página

Aritmética

2

Álgebra

37

Geometría Plana

81

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CUADERNO AUTOINSTRUCTIVO DE DEFINICIÓN DE NIVELES

MATEMÁTICAS ARITMÉTICA
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 OPERACIONES EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES DIVISIBILIDAD EN LOS NÚMEROS NATURALES NÚMEROS RACIONALES PROPORCIONALIDAD PROGRESIONES

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1. ARITMÉTICA 1.1 OPERACIONES EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES Historia de los números. Desde los orígenes, el hombre ha utilizado los números naturales para contar su rebaño, sus cosechas, etc. usando piedras o marcas. Las matemáticas de los egipcios se conocen por el papiro de Rhind de casi 3800 años y eran muy prácticas. Los babiloniosusaban una numeración en base 60, la que persiste hoy en día en los sistemas de medición del tiempo. Los griegos utilizaban fracciones de números naturales, el sistema decimal y se preocuparon por la existencia de números irracionales, al no poder medir la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado uno. Las primeras etapas de los sistemas numéricos evolucionaron bajo las exigencias denavegación, comercio, ingeniería y el ejército; y después por el avance de la astronomía y de otras ciencias. El sistema indoarábigo de base diez es el comúnmente utilizado en la actualidad en todo el mundo. 1.1.1 Conjuntos numéricos

El conjunto de los números reales, que se denota IR, tiene los siguientes subconjuntos notables:

1;2;3;4;5. ..} a. Números naturales. (Se denota IN), IN = {
Ζ Ζ b.Números enteros. (Se denota Ζ ), Ζ = {... - 3;-2;-1;0;1;2;3...}

c. Números racionales. (Se denota Q ) Son los números reales que se pueden expresar en

a Ζ Ζ , con a ∈ Ζ , b ∈ Ζ y b ≠ 0 . b 3 11 − 3 7 ; 2; − 5; 0 y 3,5 = . Ejemplos: ; ; 2 5 4 750 d. Números irracionales. (Se denota I ) Son los números reales que no son racionales. Ejemplos: 2 ; 4 7 ; π .
la forma Notas: 1. Se observa que todonúmero natural es entero y todo número entero es racional. En general IN ⊂ Ζ ⊂ Q ⊂ IR Ζ I ⊂ IR I ∪Q = IR y I ∩ Q= ∅ 2. Se llaman números positivos (respectivamente negativos) a los números que son estrictamente mayores (respectivamente menores) a cero.

1.1.2

Operaciones básicas

La suma, resta, multiplicación y división son las cuatro operaciones básicas. Adicionalmente se define lasoperaciones de potenciación y radicación tal como se detalla a continuación.

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1.1.2.1 Potencia natural de un número real a. Una potencia de base real a y exponente natural n es el producto de n factores iguales a a.

a n = a.a.a.......a n veces
Ejemplo: 32 = 3 x3 = 9 ; 41 = 4 ; (−3) 2= ( −3) x (−3) = 9 Nota: Por la regla de los signos, cuando n es par se tiene an≥ 0 . Ampliación para exponente enteros no positivos. a0 = 1, si y sólo si a≠ 0 Anécdota : El término googol que significa 10100 fue inventado por el profesor Edward Kasner de la Universidad de Columbia. Este número excede al número de electrones en el universo que es de 1079 !!!

a −n =

1 an

,donde n es unentero

positivo y a ≠ 0;

Leyes de exponentes. Sean m y n enteros, a y b números reales, tales que las operaciones que aparecen se puedan realizar.

a man = am+ n (ab) n = a nb n
Ejemplos: 30 = 1 , 5 −3 =

(a n ) m = a mn
an ⎛a⎞ ⎜ ⎟ = n ⎝b⎠ b
n

, donde b≠ 0

1 1 = = 0,008 , (−3) 2 (−3)3 = (−3)5 , (32 ) −5 = 3−10 , 3 125 5 (23 x53 ) = (2 x5)3 = 103 = 1000

1.1.2.2 Radicación de...