..Manual de procedimientos

MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
En los problemas de optimizaci¨®n, los Multiplicadores de Lagrange, nombrados as¨ª en honor a Joseph Louis Lagrange, son un m¨¦todo para trabajar con funciones de variasvariables que nos interesa maximizar o minimizar, y est¨¢ sujeta a ciertas restricciones. Este m¨¦todo reduce el problema restringido en n variables en uno sin restricciones de n + 1 variables cuyasecuaciones pueden ser resueltas. Este m¨¦todo introduce una nueva variable escalar desconocida, el multiplicador de Lagrange, para cada restricci¨®n y forma una combinaci¨®n lineal involucrando losmultiplicadores como coeficientes. Su demostraci¨®n involucra derivadas parciales, o bien usando diferenciales totales, o sus parientes cercanos, la regla de la cadena. El fin es, usando alguna funci¨®nimpl¨ªcita, encontrar las condiciones para que la derivada con respecto a las variables independientes de una funci¨®n sea igual a cero.
Consideremos un caso bidimensional. Supongamos que tenemosla funci¨®n, f(x, y), y queremos maximizarla, estando sujeta a:
(x,y) = c,
donde c es una constante. Podemos visualizar las l¨ªneas de curvas de nivel de f dadas por
para varios valores de dn, yel contorno de g dado por g(x, y) = c. Supongamos que hablamos de la curva de nivel donde g = c. Entonces, en general, las curvas de nivel de f y g ser¨¢n distintas, cruzando el contorno donde g = cpor lo general intersectar¨¢ y cruzar¨¢ muchos contornos de f. En general, movi¨¦ndose a trav¨¦s de la l¨ªnea g=c podemos incrementar o disminuir el valor de f. Solo cuando g=c, el contorno que estamossiguiendo toca tangencialmente, pero no lo corta, una curva de nivel de f no incrementamos o disminuimos el valor de f. Esto ocurre en el extremo local restringido y los puntos de inflexi¨®nrestringidos de f.
Un ejemplo familiar puede ser obtenido de los mapas climatol¨®gicos, con sus curvas de nivel de presi¨®n y temperatura (is¨®baras e isotermas respectivamente): el extremo restringido...