Manual De Vigas

Análisis de Estructuras
El estudio de un importante método para el análisis de las estructuras como lo es
el método de los desplazamientos o de las rigideces nos conduce a encontrar la
solución al comportamiento de las mismas ante

las solicitaciones exteriores

producidas por las diversas fuerzas y cargas en ellas, como son: Fuerzas de
gravedad, sismo, viento, impacto, asentamientosdiferenciales, la interacción
suelo-estructura entre otras; y sus diversas combinaciones.
El procedimiento, como el método de las fuerzas, se usa en forma básica en el
análisis de estructuras lineales y elásticas, aunque se puede adaptar al análisis
de las estructuras no lineales. Por lo general se usa en el análisis de las
estructuras estáticamente indeterminadas, pero funciona bien, así mismoen el
caso

de

estructuras

estáticamente

determinadas.

En

éste

método

los

desplazamientos nodales son considerados incógnitas.
Existen varios métodos de desplazamientos que aunque difieren están
estrechamente relacionados entre sí, para su estudio en detalle se han elegido
dos de los más útiles para el ingeniero: El método de la distribución de momentos,
un métodorápido, interactivo y manual para el análisis de las estructuras en que la
flexión es el modo dominante del comportamiento en vigas y marcos, aunque
también se considera la utilización de las ecuaciones de la estática para
estructuras isostáticas y el método de las rigideces que es un procedimiento muy
organizado, conceptualmente sencillo para el análisis de todo tipo de estructuras,
que seimplanta con facilidad en forma adecuada para usar computadoras usando
un planteamiento matricial, que se adapta muy bien para formular los cálculos en
que es necesario usar ecuaciones simultaneas, y es la manera natural de efectuar
estos cálculos en una computadora.

La ecuación básica de rigideces expresa el equilibrio de cada uno de los nodos en
función de los coeficientes de influencia de larigidez nodal y de los
desplazamientos nodales desconocidos señalados a continuación.

K 11 ∆ 1 + k12 ∆ 2 + k1n ∆

N

= P1

K 21 ∆ 1 + k 21 ∆ 2 + k 2 n ∆

N

= P2

K 31 ∆ 1 + k 31 ∆ 2 + k 3n ∆

N

= P3

Pueden ser expresados en forma matricial de la siguiente manera:


 k11 k12 k13 .......k1n   ∆ 1   P1 
 k 21 k 22 k 23 ......k 2 n   ∆ 2  =  P2 


k 31 k 32 k 33 ......k 3n   ∆ 13   P3 





En donde:
K nn
∆n

Pn

[k]
[∆ ]
[ P]

representa la rigidez de cada elemento
representa el desplazamiento de cada extremo de un elemento
representa la fuerza en cada barra
Se llama matriz de rigideces de la estructura
Es la matriz de desplazamientos de la estructura
Es la matriz de carga ó fuerza

Por conclusión laecuación de equilibrio de la estructura se determina mediante la
expresión general:

[ k ].[ ∆ ] = [ P]

La fuerza en la estructura es igual a la rigidez por el desplazamiento.
Además la fuerza nodal correspondiente al grado de libertad i causado por la
aplicación de un desplazamiento unitario correspondiente al grado de libertad j ,
∆ 1 , ∆ 2... son los desplazamientos nodales desconocidosy P 1 , P 2 ,..... P

N

Son las cargas nodales aplicadas, correspondientes a los grados de libertad
1,2,....n .La forma de la matriz [ k ] es un paso importante del proceso del análisis.
RIGIDECES NODALES
Debido a que en el análisis de la rigidez los grados de libertad se localizan en las
uniones o nodos, a la fuerza Kij se le llamará rigidez nodal" El objetivo es idear
una maneraeficiente y automática, para generar los términos Kji. . Todos los
términos de una columna dada de la matriz de rigideces son fuerzas nodales,
producidas por un solo desplazamiento nodal unitario aplicado. Considérese parte
de una estructura reticular plana, según se muestra en la figura 6.1.a. Los grados
de libertad están numerados en la figura del I al 12, Si se desea calcular los
elementos de...