Manual practico de coi

Forma canónica de Jordan
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En álgebra lineal, la forma canónica de Jordan es la forma de la matriz de un endomorfismo de espacios vectoriales en cierta base asociada a la descomposición en suma directa de subespacios invariantes bajo dicho endomorfismo.
Definición [editar]
Recordemos que un endomorfismo es unaaplicación lineal entre un mismo espacio vectorial {draw:frame} (es decir tal que {draw:frame} ).
Entre el espacio vectorial de los endomorfismos End(_V_) y el anillo de las matrices cuadradas existe un isomorfismo que, fijada una base en V(_K_), asigna una única matriz a cada endomorfismo (por supuesto si se cambia de base, la matriz también cambiará).
Supóngase que se tienen dos bases de V(_K_)llamadas {draw:frame} de modo que
{draw:frame}
{draw:frame}
y sea aij y {draw:frame} las matrices asociadas al endomorfismo en las respectivas bases de modo que f(_v__i_) = a_ijvj_ y {draw:frame} , entonces las matrices se relacionan por
{draw:frame}
{draw:frame}
{draw:frame}
{draw:frame}
{draw:frame}
{draw:frame}
es decir hay una relación de similaridad entre ellas.Un endomorfismo se dice *diagonalizable por *similaridad (o simplemente diagonalizable) si existe una base en la que su matriz asociada sea una matriz diagonal. Sin embargo la diagonalización no está asegurada, es decir no es posible decir que todo endomorfismo sea diagonalizable. La importancia de la diagonalización nos motiva a obtener una base en la que la matriz asociada a un endomorfismono diagonalizable sea más simple aunque no diagonal. Para ello se seguirán las mismas técnicas que para diagonalización, usando la teoría sobre autovalores y autovectores (también llamados valores y vectores propios o en inglés eigenvalues y eigenvectors). Recordemos que dado un operador lineal {draw:frame} decimos que W subespacio de V es T-invariante si {draw:frame} se tiene que {draw:frame}Motivación [editar]
Considérese la situación de una matriz diagonalizable. Una matriz cuadrada es diagonalizable si la suma de las dimensiones de los espacios propios (_eigenspaces_) es el número de filas o columnas de la matriz. Examinemos la matriz siguiente:
{draw:frame}
Tenemos valores propios de A que son sólo λ = 5, 5, 5, 5. Ahora bien, la dimensión del núcleo de A-5_I_ es 1, por lotanto A no es diagonalizable. Sin embargo, podemos construir la forma de Jordan de esta matriz. Dado que la dimensión es 1, sabemos que la forma de Jordan está compuesta de solo un bloque de Jordan, es decir, la forma de Jordan de A es:
{draw:frame}
Obsérvese que J puede escribirse como 5_I_+_N_, donde N es una matriz nilpotente. Puesto que ahora tenemos A similar a dicha matriz simple,podremos realizar cálculos que involucren a A usando la forma de Jordan, lo que en muchos casos puede simplificar el cálculo. Por ejemplo, calcular potencias de matrices es significativamente más sencillo usando la forma de Jordan.
Ejemplo [editar]
Hallar la forma canónica de Jordan de la matriz
{draw:frame}
Hallamos el polinomio característico:
PA(λ) = (1 − λ)4(2 − λ)
Sus raíces sonλ1 = 1 y λ2 = 2 con multiplicidades 4 y 1 respectivamente.
*λ1* = 1 [editar]
Comencemos con λ1, tenemos que hallar 4 vectores linealmente independientes, pues la multiplicidad de λ1es 4. Pero no valen 4 vectores cualesquiera. Hay que hacer lo siguiente:
Hallar la cadena de kernels (_A_ − λ1_I_),(_A_ − λ1_I_)2,(_A_ − λ1_I_)3,...hasta que la dimensión del último sea la multiplicidad de laraíz (4 en este caso).
{draw:frame}
{draw:frame}
{draw:frame}
{draw:frame}
Ya hemos llegado a la dimensión máxima. Ahora tomamos un vector {draw:frame} pero que no pertenezca a ninguno de los anteriores. Por ejemplo, v4 = (0,0,0,1, − 1). Ahora hallar {draw:frame} es muy fácil:
v3 = (_A_ − I)_v_4 = (0,0,2,0,0)
v2 = (_A_ − I)2_v_4 = (_A_ − I)_v_3 = (6,4,0,0,0)
v1 = (_A_ −...