Manual resolucion de problemas

Un Peque˜o Manual
n
para la Resoluci´n de Problemas
o
Francisco Javier Garc´ Capit´n
ıa
a
pacoga@ctv.es
Priego de C´rdoba, 9 de Noviembre de 2002
o

´
Indice general
1. Miscel´nea de problemas
a
2. Soluciones de los problemas
2.1. N´mero natural y entero. Divisibilidad.
u
2.2. Ecuaciones diof´nticas. . . . . . . . . .
a
2.3. Congruencias. . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Elm´todo de inducci´n. . . . . . . . .
e
o
2.5. El principio del palomar. . . . . . . . .
2.6. Progresiones y sucesiones. . . . . . . .
2.7. Combinatoria. . . . . . . . . . . . . . .
2.8. Introducci´n a la probabilidad. . . . .
o
2.9. Trigonometr´ y tri´ngulos. . . . . . .
ıa
a
2.10. Polinomios. Ecuaciones polin´micas. .
o
2.11. Construcciones con regla y comp´s. . .
a
2.12. Lacircunferencia. . . . . . . . . . . . .
2.13. N´meros complejos. . . . . . . . . . . .
u
2.14. Ecuaciones funcionales. . . . . . . . . .
2.15. Desigualdades. . . . . . . . . . . . . . .

1
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22
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25
26

Cap´
ıtulo 1
Miscel´nea de problemas
a
Los problemas propuestos en las Olimpiadas Matem´ticas plantean cuesa
tiones que normalmente no se ven en los temarios escolares. La siguiente
relaci´n consta de problemas sobre algunos de los temas m´s frecuentes. Hay
o
a
algunos temas m´s y habr´ que poner m´s problemas de cada temapara tea
ıa
a
ner una idea m´s global del tipo de problemas que podemos encontrarnos en
a
Olimpiadas, pero entonces la lista se har´ demasiado grande para empezar.
ıa
N´mero natural y entero. Divisibilidad.
u
1. Encontrar un n´mero de 4 cifras de la forma aabb que sea cuadrado
u
perfecto.
2. Hallar los pol´
ıgonos regulares cuyos ´ngulos miden un n´mero entero
a
u
de grados.Ecuaciones diof´nticas.
a
3. Un hombre compr´ doce piezas de fruta (manzanas y naranjas) por 99
o
c´ntimos. Si una manzana cuesta 3 c´ntimos m´s que una naranja, y
e
e
a
compr´ m´s manzanas que naranjas, ¿cu´ntas de cada compr´?
o a
a
o
4. Un hombre cobra un cheque por d d´lares y c centavos en un banco.
o
El cajero, por error, le da c d´lares y d centavos. El hombre no se
o
da cuentahasta que gasta 23 centavos y adem´s observa que en ese
a
momento tiene 2d d´lares y 2c centavos. ¿Cu´l era el valor del cheque?
o
a

1

Congruencias.
5. Demuestra que si n es un entero impar, entonces n2 ≡ 1 (m´d 8).
o
6. Halla el resto de dividir 2384292 entre 7.
El m´todo de inducci´n.
e
o
7. Demostrar, que para cualquier n,
12 + 22 + · · · + n2 =

n(n + 1)(2n + 1)
.
6

8.Demostrar que para todo n entero positivo, el n´mero 3n − 2n2 − 1 es
u
m´ltiplo de 8. Probar adem´s que, si n no es m´ltiplo de 3, entonces
u
a
u
n
2
3 − 2n − 1 es m´ltiplo de 24.
u
El principio del palomar.
9. Supongamos que tenemos 27 n´meros impares menores que 100. Enu
tonces hay al menos un par de ellos cuya suma es 102.
10. Si elegimos n + 1 n´meros entre 1 y 2n es siempreposible encontrar
u
dos de ellos tales que uno divide al otro.
Progresiones y sucesiones.
11. En un c´
ırculo de radio R se inscribe un cuadrado; en el cuadrado, un
c´
ırculo y as´ sucesivamente. Hallar la suma de las ´reas de los c´
ı
a
ırculos
y la de los cuadrados.
12. Hallar tres n´meros naturales en progresi´n aritm´tica de diferencia 2,
u
o
e
tales que la suma de sus cuadrados...