Manual señales y sistemas

Gu´ıa y Formulario de L´ıneas de
Transmisi´
on

Basado en:
“L´ıneas de transmisi´on”, Rodolfo Neri Vela, McGraw Hill, 1999.

Elabor´
o: M.S.c. Armando M´endez Villal´on

(Versi´on 2.0.1)

4 de septiembre de 2013

1

1.

Fasores
R + jX =

√

R2 + X 2 ∠ arctan(

X
)
R

A∠φ = A cos φ + jA sin φ

2.

(1)
(2)

Par´
ametros de la L´ınea l

2.1.

Profundidad depenetraci´
on
l=

2
ωµσc

donde:
ω=2πf, es la frecuencia en rad/s
µ = µr µ0
µr = 1 (sujeto a aclaraciones).
µ0 = 4π × 10−7 H/m
σc es la conductividad del medio en siemens por unidad de longitud (S/m)

Conductor
Fierro (Hierro)
N´ıquel
Lat´on
Zinc
Tugsteno
Aluminio
Oro
Cobre
Plata

2

σc (S/m)
1.10 × 107
1.45 × 107
1.50 × 107
1.67 × 107
1.82 × 107
3.82 × 107
4.10 ×107
5.80 × 107
6.17 × 107

(3)

2.2.

Tangente de p´
erdidas
tan δ =

σd
ωǫ

(4)

donde:
ǫ = ǫr ǫ0 , es la permitibilidad.
ǫr no tiene unidades (generalmente es 1)
ǫ0 =8.8542×10−12 F/m.

Diel´
ectrico
Aire
Alcohol Et´ılico
´
Oxido
de Aluminio
Baquelita
Di´oxido de Carbono
Vidro
Hielo
Mica
Nylon
Papel
Plexiglas
Polietileno
Polipropileno
PoliestirenoPorcelana
Vidro pyrex
Cuarzo
Hule
Nieve
Tierra seca
Tefl´on
Madera seca

2.3.

ǫr
tan δ
1.005
−3
25
100 × 10
8.8
0.60 × 10−3
4.74
22 × 10−3
1.001
−3
4-7
2 × 10
4.2
50 × 10−3
5.4
0.60 × 10−3
3.5
20 × 10−3
3
8×−3
3.45
30×−3
2.26
0.20×−3
2.25
0.30×−3
2.56
0.05×−3
6
14×−3
4
0.60×−3
3.8
0.75×−3
2.5-3
2×−3
3.3
500×−3
2.8
50×−3
2.1
0.30×−3
1.5-4
10×−3Par´
ametros L, C, R, G de una l´ınea bifilar

Bajas frecuencias
L=

µ 1
d
[ + cosh−1 ( )]
π 4
2a

(5)

2
σc πa2

(6)

R=

3

C=

πǫ
d
cosh−1 ( 2a
)

(7)

G=

πσd
d
cosh−1 ( 2a
)

(8)

µ
d
µ
d
cosh−1 ( ) ≈ ln( )
π
2a
π
a

(9)

1
σc πal

(10)

πǫ
πǫ
≈
−1 d
ln( ad )
cosh ( 2a )

(11)

πσd
d
cosh−1 ( 2a
)

(12)

Altasfrecuencias(>100 KHz)
L=

R=
C=

G=

* cosh(x) ≈

2.4.

(ex +e−x )
.
2

d
Si a 100 KHz)
L=

R=

4

2.5.

C=

2πǫ
ln ab

(19)

G=

2πσd
ln ab

(20)

Par´
ametros L, C, R, G de una l´ınea de placas paralelas

Estas l´ıneas se utilizan, generalmente, a altas frecuencias
Altas frecuencias(>100 KHz)

3.

L=

µa
b

(21)

C=

ǫb
a

(22)

R=

2
σclb

(23)

G=

σd b
a

(24)

Ecuaci´
on general de una l´ınea de transmisi´
on

3.1.

Constante de propagaci´
on γ
γ=

(R + jωL)(G + jωC)

(25)

(R + jωL) → Impedancia en serie de la l´ınea.
(G + jωC) → Admitancia en paralelo de la l´ınea.
γ = α + jβ

(26)

α → Atenuaci´on que sufre la onda de voltaje.
β → Rapidez del cambio de fase.

3.2.

Impedanciacaracter´ıstica
Z0 =

(R + jωL)
Ω
(G + jωC)
5

(27)

3.3.

Velocidad de fase vp
vp =

3.4.

2πf
c
= λf = √
2π/λ
ǫr

(28)

Tiempo de retardo en la l´ınea
td =

ℓ
βℓ
=
vp
ω

(29)

donde ℓ es la longitud de la l´ınea.

4.

Propagaci´
on en l´ıneas acopladas

4.1.

Voltaje de entrada
Vi (z) = Ae−αz e−jβz

4.2.

Corriente de entrada
Ii (z) =

4.3.

(30)

1(Ae−αz e−jβz )
Z0

(31)

Voltaje incidente y reflejado
V (z) = Ae−γz + Beγz

(32)

Vi (z) = Ae−γz → Voltaje incidente.
Vr (z) = Beγz → Voltaje reflejado.

4.4.

Corriente incidente y reflejada
I(z) =

Ii (z) =

Ae−γz
Z0

Ir (z) =

Beγz
Z0

Ae−γz Beγz
+
Z0
Z0

→ Voltaje incidente.
→ Voltaje reflejado.

6

(33)

5.

Impedancia de entrada de una l´ıneaterminada
en circuito cerrado

Impedancia de entrada vista por el generador
Zic.c. = Z0

1 − e−2γℓ
1 + e−2γℓ

(34)

Si |γℓ| ≪ 1, entonces:
Zic.c. ≈ Z0 γℓ

(35)

Zic.c. = ℓ(R + jωL)

(36)

y se deduce:

6.

Impedancia de entrada de una l´ınea terminada
en circuito abierto

Impedancia de entrada vista por la carga
Zic.a. = Z0

1 + e−2γℓ
1 − e−2γℓ

(37)

Si |γℓ| ≪ 1,...