Manual U IV CALCULO DIFERENCIAL F

TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE SAN
LUIS POTOSÍ

Manual de Calculo
Diferencial
Matematicas 1

Sergio Alberto Rosalío Piña Granja
Eustorgia Puebla Sánchez

Instituto Tecnológico de San Luis Potosí
Enero del 2015

Unidad 4 La derivada
4.1. Conceptos de incremento y de razón de cambio.
4.2. La derivada de una función.
4.3. La interpretación geométrica de la derivada
4.4.Concepto de diferencial. interpretación geométrica de las diferenciales.
4.5. Propiedades de la derivada.
4.6. Regla de la cadena
4.7. Fórmulas de derivación y fórmulas de diferenciación.
4.8. Derivadas de orden superior
4.9. Derivada de funciones implícitas.

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La Derivada

4.1.Razón de cambio
El cociente m 

x1 , x2  ,

y 2  y1
es llamado razón de cambio promedio de y respecto a x en elintervalo
x2  x1

cambio en y
, y nos permite saber qué tanto cambió la variable
cambio en x
dependiente respecto al cambio de la variable independiente en el intervalo. Si es positiva
entonces hubo incremento, si es negativa entonces hubo un decremento; en ambos casos el
valor absoluto de la razón nos dice qué tan grande fue ese cambio. En esta sección
resolveremos situaciones donde se presentanrazones de cambio aunadas al concepto de límite,
comenzaremos definiendo la recta tangente ya que es el antecedente inmediato del concepto
de la derivada.
esto es m 

4.1.1. La recta Tangente

¿Qué es una recta tangente a una circunferencia? Es una recta que toca a la circunferencia en
un sólo punto. Una recta secante es aquella que corta a la circunferencia en dos puntos.

Tangente
Secante

3Ahora, supongamos que tenemos otra función, y trazamos una recta tangente a cualquier
punto,
y









x


















Para definir el concepto de recta tangente utilizaremos el concepto de límite.


Dada una función f y su gráfica, sean P  ( x1 , f ( x1 )) y Q  ( x2 , f ( x2 )) dos puntos de f, entonces
la pendiente la recta que pasa por P y Q es:

mPQ 

f ( x2 )  f (x1 )
x2  x1

y



Q



f ( x2 )


P

f ( x1 )
x








x1





x2





L




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Si hacemos que x 2 se aproxime a x1 obtendremos una familia de rectas que intersectan a la
gráfica en puntos cada vez más cercanos, si estas rectas se aproximan a una recta L cuando la
distancia entre x1 y x 2 se aproxima a cero, decimos que L es la recta tangente a la curva en el
punto P.Notemos que la pendiente de la recta L no se puede calcular como el caso de las otras rectas,
ya que sólo conocemos un punto, sin embargo al acercar a x1 y x 2 las pendientes de las rectas
se aproximan a la pendiente de L , esto es, la pendiente de L , llamémosle mtan es:

mtan  lím x2  x1

f ( x2 )  f ( x1 )
x2  x1

Ejemplos
1. Calcula la pendiente de recta tangente a la curva f ( x)  x 2  x enel punto (2, 2).

Solución:

mtan  lím x2

( x 2  x)  2
3
x2

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2. Halla la pendiente de la recta tangente a la curva f ( x)  x 3  x en el punto (1, 0)

Solución:

mtan  lím x1

Llamemos

( x 3  x)  0
( x 2  1) x
( x  1)( x  1) x
 lím x1
 lím x1
2
x 1
x 1
x 1

a la diferencia

, y sea

continua en

. Si el límite

existe, entonces la recta tangente a la gráfica de f en (x,f(x))
es la recta que pasa por el punto (x, f(x)) con pendiente

.

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f ( a  h)

f (a )

a

ah

Recta tangente vertical. La recta tangente a una gráfica puede ser vertical, en cuyo caso su
pendiente está indefinida tal como se muestra en la siguiente gráfica, para los puntos B y D.

Recta tangente Horizontal. La recta tangente a una gráfica puede ser también horizontal, estos
puntos indicancierto comportamiento de interés en la función, en base a la gráfica, las rectas
tangentes a los puntos A, C y E tienen pendiente nula, es decir son horizontales, ¿puedes
describir algún comportamiento específico de la función?

La recta tangente también puede no existir. Si la gráfica de la función tiene un pico
pronunciado, la recta tangente no existirá.

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Ejemplo: Analicemos la función y ...