Manual

´ Departamento de Matematica (FIQ, UNL)
´ ´ ´ ´ ´ Area II: Matematica Aplicada. Analisis Numerico, Programacion, Estad´ ıstica e Investig. Operativa.

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Ecuaciones en diferencias

´ 1. Introduccion Las ecuaciones en diferencias y diferenciales ordinarias son herramientas vers´tiles de an´lisis. Son a a una excelente representaci´n de un gran n´mero de situaciones din´micas y su teor´asociada es sufio u a ıa cientemente rica para suministrar elementos para su comprensi´n. o Supongamos tener una variable y de la que se conocen sus valores en una sucesi´n de instantes {tk } o con ´ ındices k ∈ N, esos valores ser´n denotados y(tk ), ´ y(k), o bien yk seg´n resulte conveniente. Una a o u ecuaci´n en diferencias es una ecuaci´n que relaciona el valor y(k), en el tiempo tk , con losvalores de o o y en otros instantes (usualmente cercanos). 1.1. Ejemplo. Un caso simple es la ecuaci´n o y(k + 1) = ay(k), donde a es una constante. El nombre ecuaci´n en diferencias se utiliza para reflejar el hecho que los instantes de tiempo involuo crados se suceden siguiendo el ´ ındice k de modo que la ecuaci´n involucra los valores y(k+n), y(k+n−1), o . . ., y(k + 1), y(k), para los sucesivosvalores naturales k. El orden de la ecuaci´n en diferencias es la o diferencia entre el mayor y el menor ´ ındice que aparece en la ecuaci´n. o Una ecuaci´n en diferencias de orden n se denomina lineal e invariante si tiene la forma o an y(k + n) + an−1 y(k + n − 1) + . . . + a1 y(k + 1) + a0 y(k) = u(k) con a0 , . . . , an constantes (ecuaci´n invariante) y u(k) una funci´n dada, que suelellamarse control o o o simplemente lado derecho. Una soluci´n de una ecuaci´n en diferencias es una funci´n y(k) que reduce la ecuaci´n a una ideno o o o tidad. Por ejemplo, para la ecuaci´n de primer orden o y(k + 1) = ay(k) la funci´n y(k) = ak reduce la ecuaci´n a una identidad puesto que y(k + 1) = ak+1 = aak = ay(k). o o Notar asimismo que cualquier m´ltiplo cak de la anterior con c una constante,tambi´n es soluci´n, u e o mientras que una expresi´n de la forma crk solamente puede serlo si r = a puesto que crrk = cark o obliga, en los casos no triviales, (c = 0, r = 0) a que r = a. k = 0, 1, 2, . . .

2. Existencia y unicidad de soluciones Dada una ecuaci´n en diferencias nos preguntamos si existir´n soluciones y, en caso de existir alguna, o a si esta ser´ unica. En este caso se tiene elsiguente a´

Carlos Enrique Neuman, ceneuman@fiqus.unl.edu.ar

September 14, 2000

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2.1. Teorema (Existencia y unicidad). Consideremos una ecuaci´n en diferencias de la forma o y(k + n) + F [y(k + n − 1), y(k + n − 2), . . . , y(k),k] = 0, k = 0, 1, . . .

donde F es una funci´n arbitraria. Para cada especificaci´n de los n valores iniciales y(0), y(1), . . ., o o y(n − 1), la ecuaci´n tiene una unica soluci´n y(k) o ´ o Demostraci´n: Especificados los n valores iniciales y(0), y(1), . . ., y(n − 1) es posible calcular el valor o que toma y(n) calculando la funci´n F . Con el conocimiento de y(1), y(2), . . ., y(n) es posiblecalcular o y(n + 1), y as´ puede continuarse indefinidamente para los sucesivos valores de k. ı Debe observarse que la ecuaci´n en diferencias lineal invariante (i.e. con coeficientes constantes) es o un caso particular de este teorema (la funci´n F se reduce a una simple suma de t´rminos). o e 2.2. Ejemplo (La ecuaci´n de primer orden). La ecuaci´n o o y(k + 1) = ay(k) + b donde a y b sonconstantes es un util modelo en variadas e importantes aplicaciones. Su an´lisis motiva ´ a muchos aspectos de la teor´ de ecuaciones en diferencias. Si suponemos que y(0) = C, una constante, ıa se tiene y(0) = C y(1) = ay(0) + b = aC + b y(2) = ay(1) + b = a2 C + ab + b y(3) = a3 C + a2 b + ab + b El t´rmino general es e y(k) = ak C + (ak−1 + ak−2 + . . . + a + 1)b En el caso que a = 1 esta expresi´n...