Manual

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Ejercicios resueltos sobre optimización
1. Determinar las dimensiones del sólido rectangular con base cuadrada, de máximo volumen de entre todos los que tienen un área de 50 Solution 1 Unsólido rectangular de base cuadrada es un paralelepípedo que tiene dos caras que son cuadrados, las bases,

y las 4 restantes son rectángulos, el área super…cial será la suma de las áreas de cada una delas caras, entonces, si x es la medida de los lados del cuadrado y x; y son las medidas de los lados de los rectángulos, el área super…cial será: S (x; y) = 2x2 + 4xy: Para este problema, 50 2x2 2x2 +4xy = 50; =) y = : el volumen de este tipo de sólido es 4x 50 2x2 = V (x; y) = x2 y =) para la situación que nos ocupa V (x) = x2 4x 3 3 50x 2x 25x x = : Esta es la función que vamos a optimizar, por4 2 p p 25 3x2 = 0 =) x = 5 3 3 _ x = 5 3 3 Se descarta tanto V 0 (x) = 2 p el valor negativo, y se veri…ca si x = 5 3 3 ;maximiza la función de volumen, para ello se usará el criterio de la segundaderivada V 00 (x) = p p p p 3x; V 00 5 3 3 = 3 5 3 3 = 5 3 < 0. Se tiene que 5 3 3 es un máx50 imo, y = 4 2
p 5 3 3 p 5 3 3 2

= 2: 886 8:

2. Una viga de madera tiene sección rectangular dedimensiones l; h. Su resistencia S es directamente proporcional al cuadrado de su altura, h; y a su ancho, l: ¿Cuáles son las dimensiones de la viga más resistente que se puede cortar de un tronco de 60cmde diámetro?

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Solution 2 Por ser la resistencia de la viga directamente proporcional al cuadrado de su altura y a su ancho se tiene que S (l; h) = klh2 ; donde k es una constante deproporcionalidad. Como la viga se cortará de un tronco de sección circular, l y h están relacionados mediante la ecuación l2 + h2 = 602 =) h2 = 602 l2 =) S (l) = kl 602 l2 :La función a optimizar es por tanto S(l) : S 0 (l) = k 602 cuando S 0 (l) = 0; 602 l2 2kl2 = k 602 3l2

p 602 60 ^ l = p = 20 3 3 3 S 00 (l) = 6kl:Esto indica que si la constante de proporcionalidad es positiva, S 00 (l) < 0 para...