manual

SMM

´ nea Matema
´ tica 34 (2001) 59–71
Miscela

Fermat y el C´alculo Diferencial e Integral*
Shirley Bromberg
Departamento de Matem´aticas
Universidad Aut´onoma Metropolitana-I
09340 M´exico, D.F.
M´exico
stbs@xanum.uam.mx

Juan Jos´e Rivaud**
Departamento de Matem´aticas
Universidad Aut´onoma Metropolitana-I
09340 M´exico, D.F.
M´exico
jrivaud@mail.cinvestav.mx

1.Introducci´
on.

El u
´ltimo Teorema de Fermat encendi´o la imaginaci´on de generaciones y generaciones de matem´aticos que so˜
naron con su demostraci´on.
Para estas generaciones, el trabajo matem´atico desarrollado por Fermat qued´o oculto tras el brillo legendario del Teorema. Sin embargo, a
lo largo de los a˜
nos muchas voces se alzaron para reivindicar tambi´en
a Fermat como co-fundadorde la Geometr´ıa Anal´ıtica, como iniciador
junto con Pascal de la Teor´ıa de Probabilidades y como descubridor del
C´alculo Diferencial e Integral.
Queremos ahondar en la validez y alcances de esta u
´ ltima afirmaci´on: ¿ Es Fermat, junto con Leibniz y Newton, fundador del C´alculo? o
*

Una versi´
on preliminar de este trabajo fue presentada en las III Jornadas de
Historia y Filosof´ıade las Matem´
aticas, CIMAT A.C., Guanajuato, septiembre de
2001.
**
Con Licencia Sab´atica de la Secci´
on de Metodolog´ıa y Teor´ıa de la Ciencia del
CINVESTAV.

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Shirley Bromberg y Juan Jos´
e Rivaud

con m´as modestia: ¿En qu´e medida el trabajo de Fermat es antecedente
y precursor del C´alculo?
Fermat, y los ge´ometras del siglo XVII (el t´ermino “matem´atico”seemplear´ıa en el siglo por venir), quer´ıan ser los herederos del saber de
los antiguos. As´ı el primer inter´es de Fermat es abordar los problemas
geom´etricos de los griegos: cuadraturas, trazado de tangentes, rectificaci´on de curvas y problemas geom´etricos de optimizaci´on, pero se perfila
un cambio en los m´etodos/t´ecnicas usados. En efecto, el Arte Anal´ıtico
de F. Vi`ete proporciona unnuevo significado para el an´alisis de los
problemas y Fermat usa las t´enicas de Vi`ete para introducir un “m´etodo de coordenadas”que le permite convertir problemas geom´etricos en
problemas que hoy denominar´ıamos algebraicos.
Se˜
nalemos que la notaci´on que estamos usando est´a lejos de ser la
usada por Fermat, la cual era bastante rudimentaria; adem´as, ´el la usa
con mucho descuido.Nuestra notaci´on es la que se desarroll´o a partir
de Leibniz y vale la pena recalcar que en el caso del ´algebra, la forma es
contenido. Sin embargo, tratamos de estar tan cerca como sea posible
de las ideas de Fermat.

2.

La cuadratura de las par´
abolas.

Arqu´ımedes descubri´o, mediante una heur´ıstica muy elaborada basada en la Ley de la Palanca, que la cuadratura del sector depar´abola
ABC es igual a 4/3 del ´area del respectivo tri´angulo, donde B, al que
llamaremos centro del arco, es el punto de la par´abola donde la tangente
es paralela a la cuerda AC. Para demostrar formalmente su resultado
usa el m´etodo de exhauci´on.

Figura 1.a: Aproximaci´on por defecto

´lculo Diferencial e Integral
Fermat y el Ca

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Figura 1.b: Aproximaci´on por exceso
Aproxima,por defecto, el ´area del sector con la suma de las a´reas de
la familia de tri´angulos que tienen como base una cuerda de la par´abola
y como v´ertice el centro del arco correspondiente (ver figura 1.a)
Para aproximar por exceso, toma la suma de ´areas de tri´angulos
determinados por las tangentes a la par´abola en los extremos de los
arcos de la familia anterior (ver figura 1.b) Usando lasrelaciones entre
las ´areas de los tri´angulos de las dos familias obtiene estimaciones que
le permiten usar el m´etodo de exhauci´on y demostrar su resultado.
Las relaciones antes mencionadas muestran que Arqu´ımedes ten´ıa un
profundo conocimiento de la par´abola. Notemos que en esta prueba,
Arqu´ımedes utiliza la suma de una progresi´on geom´etrica y, seg´
un
Fermat, es el u
´ nico...