Manual

Procesos Estoc´
asticos para Ingenieros:
Teor´ıa y Aplicaciones

Francisco Montes Suay
Departament d’Estad´ıstica i Investigaci´
o Operativa
Universitat de Val`
encia

Copyright c 2007 de Francisco Montes
Este material puede distribuirse como el usuario desee sujeto a las siguientes condiciones:
1. No debe alterarse y debe por tanto constar su procedencia.
2. No est´a permitido el uso total oparcial del documento como parte de otro distribuido
con fines comerciales.
Departament d’Estad´ıstica i Investigaci´o Operativa
Universitat de Val`encia
46100-Burjassot
Spain

´Indice general
1. Probabilidad. Variable aleatoria. Vector aleatorio
1.1. Probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1. Causalidad y aleatoriedad . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .
1.1.2. Experimento, resultado, espacio muestral y suceso . . . . . . . . . . . .
1.1.3. Probabilidad y sus propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4. Probabilidad condicionada. Teorema de Bayes . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.5. Independencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Variable aleatoria . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1. Definici´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2. Probabilidad inducida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3. Funci´on de distribuci´on de probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4. Funci´on de cuant´ıa o probabilidad: variable aleatoria discreta . . . . . .
1.2.5.Algunos ejemplos de variables aleatorias discretas . . . . . . . . . . . . .
1.2.6. Funci´on de densidad de probabilidad: variable aleatoria continua. . . . .
1.2.7. Algunos ejemplos de variables aleatorias continuas . . . . . . . . . . . .
1.3. Vector aleatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1. Probabilidad inducida . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .
1.3.2. Funciones de distribuci´on conjunta y marginales . . . . . . . . . . . . .
1.3.3. Funci´on de cuant´ıa o probabilidad conjunta: vector aleatorio discreto . .
1.3.4. Algunos ejemplos de vectores aleatorios discretos . . . . . . . . . . . . .
1.3.5. Funci´on de densidad de probabilidad conjunta: vector aleatorio continuo
1.3.6. Algunos ejemplos de vectores aleatorioscontinuos . . . . . . . . . . . . .
1.4. Independencia de variables aleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5. Distribuciones condicionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1. Caso discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2. Caso continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6. Funci´onde una o varias variables aleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.1. Caso univariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.2. Caso multivariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

1
1
1
1
3
6
8
11
11
12
12
13
14
18
19
24
24
24
26
28
28
32
34
36
36
37
40
40
42

2.Esperanza. Desigualdades. Funci´
on caracter´ıstica
2.1. Esperanza de una variable aleatoria . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1. Momentos de una variable aleatoria . . . . . . . . .
2.1.2. Momentos de algunas variables aleatorias conocidas
2.2. Esperanza de un vector aleatorio . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1. Momentos de un vector aleatorio . . . . . . . . . . .
2.2.2. Covarianza. Aplicaciones . . . . .. . . . . . . . . . .
2.3. Esperanza condicionada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.

45
45
46
47
49
49
49
54

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

´
INDICE GENERAL

2

2.4. Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....