Manual

Es claro que la re"acH5n e s tablecida ro es úrúc.:l ya q ue se pueCe esta-

blecer otr3S relaciones (correspondertias ) entre los ' dos conjuntes. niciOn formal de reLaci6n es la siguiente:

la

den

Definición l.

S es un.l relaciÓfl de A en a, 5l S es un subconjunto de A X 8,

es decir S1.

S e ,\ x B.

Si S es una rl!laci6n de ,\ en D se denota con S: del conJunto B.

A_B Y se

d~Cü

que

S es una correspondenci..l entre los elen;,ntos del a:m)lIDtQ A y los elerentos
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ObSenJoción 1.
J.!I Si x:

e:

AA Ij~S Ij)e C.ll17IpÜ'. que

1~,lJl

E S
':CII

c.:/»
0.21 Si. S

di.ce :( e6td VI 'tde. ':f J·edi..u~to!, S !J &e d('no S 'l

~e

fa óJn x:
~

,
I

uml'tUnentes de los

D(S) '"' {x é

A

I

3 y € B;

(x,y) E

S}

El !tango o con.t:utdom.úuoJ de S es el conjunto ele los elerrel'1tos y E B

para l os cuales existe un x E A tal

~

(x , y) E S,

° sea el

rango o oontrad::?

minio de S es el suI.::oJnjunto de B fomado ror toJas las segundas cmponentes
de l os pares ordenacbs que f:€rtcneoen Jo la relación.
go de S es elconjunto:
R(S) "'{YE B

I

3XE A;

. (e) del ejerrplo 1 son, z;-esp.!ctivrurente,1 df sp 1) D{S) = {.l,2,3,4} ro b .li 11) D{T) =[ 1,2,3,4) R(T) '" [ 3,~,5,6) w w 2.3 -RELACIONES DE R EN R. w
A y B son subconjuntos de
Eiemplo J.
~.
¡}l ¡}l

Cjemplo 2.

1.os daninios y =ntz;-odornini= lo lll!I :;-elaciones d.."\dn.!! en b de

g

p s(x,y) Ef S}

ot

.

m co

Sirnt6licammte elran-

(b)

En la ll'ayor parte de este libro , se utilizará relaciones de A en B, cbnr'--e

Sea S la relación en
S '" { (x,y) E IN x

definida por:

I X2 + y2 ~ 9}
(2,1), (2,2)}

LlEgo,

S

"'í

(1,1), (1,2),

El gr.ifico de la relación S se muestra en l a figura 2.5 .
Ejem plo 4.
Sea e la relaci6n en IR, definida por :

e ~ ( {x,y l E

(El

lo';

IR I

Xl

+ yl{ 9 1
Sin errbar

se oota que es iJlposible la enure r aci6n de los elarentos de e . la c i r cunfe rencia e inte r i ores a la misma .
El dcminio es:

go , la gráfica de e, fi gura 2 . 6, mYestra que sus elementos son los punt os de

O(e) '" [- 3 , 3J

Y el r ango es'

R( e l

[- 3.3J

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res ordenados que esel oonjunto:

a la relaci ón.

Sillbólicarrente el d::minio de S

y

.¡
J
:2 1 --,--.

,

- -- - - "

o

1

2

J

•
Fi g . 2.6

Fig. 2,5
Ejemp/i¡ 5.

sea T una re laci6n en tR, definida por
X2 + y1 ~

r---~-----------.

T '" ( (x,y) E IR x ¡R /

1

+ y2~9) o sp y: '" 1 es una circunferencia Ce g lo centro en (0 ,0 ) y radio 1 y .b X2 + y2 '" 9 ~s una CirCUllferencia def1
X2 +

"x

2

c t.

om

centro en (0,0) y radio 3;
Fig. 2 , 7 ,

La.

gráfisp

d

ca de la relación T se muestra ben i

se observa que el oominio w

.l

ro

la

y el ranqo de T son:
D(T) '"

w w

(-3,3J;

R(T) =

[-3,3J

2.4 RELACION INVERSA
Definición J.
Dada la relación S de ;, en B:
S '" { (x ,y) E: 1\. x B /

Fig. 2,7

(>:,y) E S}la relaci6n inversa de S denotado por
S-' '"

s-'

se define coro
S}

r (y,x)
-,

E B x A /

(x,y) €

en otras palabras, S

es la relaci6n de B en A que se obtiene a partir de

la. r elación S i ntercarrtri.ando las corrponentes de los elarentos de S.

Observación 2 ,
0.1) Ve la de6.útr.

x -: y

xe: Al\y€. B
~

2)

x

~

]) 4)

x es divisor de y: x x "" y;X € A /1 yen
ej~rcicio

A

~

y €. D
5)y - x+ O)

om

x'
9) S '" ( (x,y) €
,,-2 /

y

1

X2

+ 3y2 + 2x _ 2 " 01
12x+2y-9 "O )

IV) V)

En t.oda.s las relacioncs del e)er::icio III, hallar las relaciones inver

sas, inCIicar su d:lIl1.inio, rango y trazar su gráfica.
Sea A .. ( 1,2,) 1
se define una relaeioo S en ,\ x A de la Siguiente ma~

nera (a,b) S (e,d)...