Mapa de karnaugh

MAPA DE KARNAUGH

Los diagramas de subconjuntos nos sirven de base para introducirnos a una de las herramientas de simplificación de circuitos lógicos a continuación el siguiente mapa para dos variables boleanas A y B conocido como el mapa de Karnaugh, inventado en 1952 por Edward W. Veitch y refinado posteriormente por Maurice Karnaugh, un ingeniero de telecomunicaciones trabajando para BellLabs:

Para la construcción de nuestro primer mapa de Karnaugh, el concepto del minterm, supóngase que desamos localizar el minterm AB en el mapa de Karnaugh. Estudiando el mapa detenidamente, vemos que podemos representar dicho minterm en el mapa como se muestra a continuación:

De la misma manera, si deseamos representar los minterms AB y A·B en el mapa de Karnaugh, podemos hacerlo de lasiguiente manera:

Ahora bien, también podemos representar variables sencillas en el mapa de Karnaugh. Supóngase que deseamos representar B en el mapa de Karnaugh. Esto lo logramos de la siguiente manera:

Estudiamos ahora un hecho de importancia trascendental. Este último mapa de Karnaugh nos indica que B es igual a la suma de los minterms AB y A·B, lo cual podemos comprobar mediante elálgebra Boleana como sigue:
AB + A·B = (A + A)B = (1)B = B

Tenemos aquí nuestra primera indicación sobre cómo podemos usar el mapa de Karnaugh para simplificar circuitos lógicos.

Supóngase que la salida de un circuito está dada por la siguiente expresión:

Salida = AB + A·B

Podemos describir la salida del circuito en un mapa de Karnaugh de la manera siguiente:

Vemos de inmediato en elmapa cómo los minterms AB y A·B forman dos grupos adyacentes que están cubiertos completamente en el mapa por la variable A. Concluímos, pues, que la salida simplificada del circuito está dada por la siguiente expresión:
Salida = A

La regla general para simplificar un circuito usando el mapa de Karnaugh es examinar el mapa que le corresponde y determinar los agrupamientos más grandes de gruposadyacentes que se pueden describir con el menor número de variables boleanas.

Usando el mapa de Karnaugh, tratemos ahora de simplificar la expresión que encontramos al comienzo de este capítulo:
AB + B

Su mapa de Karnaugh con una simplificación posible tendrá el siguiente aspecto (el "minterm" correspondiente a la variable B está enmarcado dentro de una línea verde cubriendo todo el renglónrepresentativo de B, mientras que el "minterm" AB es puesto antes de los agrupamientos simplificadores en la esquina inferior izquierda) :

Como se puede ver, es posible hacer dos agrupamientos de grupos adyacentes, los cuales están descritos por la expresión:
A + B

que es la expresión simplificada.

Asimismo, el mapa de Karnaugh nos indica cuáles son las expresiones que no se puedensimplificar. Por ejemplo, la siguiente expresión:
AB + AB

está descrita por el siguiente mapa:

Esta expresión, como se puede ver en su mapa de Karnaugh, ya no se puede simplificar.

Existen también mapas de Karnaugh para expresiones con tres o más variables, supóngase que deseamos simplificar un circuito con tres variables de entrada A, B y C cuya salida es la siguiente:
ABC + A·B·C + ABC+ + A·B·C

En este caso, tenemos que utilizar el mapa de Karnaugh para tres variables:



El mapa de Karnaugh para la expresión lógica dada se muestra a continuación:

La primera simplificación es evidente. Los minterms ABC y ABC pueden ser agrupados para ser representados por la relación BC (esta agrupación es la quecorresponde a los unos que están encerrados dentro del rectángulo rojo). La siguiente simplificación no es tan obvia.

Obsérvese que si conectamos los vértices del mapa alrededor de un cilindro (esto es, si enrollamos el mapa y unimos el lado izquierdo con el lado derecho), se puede llevar a cabo otra simplificación. En efecto, los minterms A·B·C y A·B·C se pueden agrupar dentro de la relación BC...