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Unidad 1:

Teorema Fundamental del Cálculo

UNIDAD 1 : Teorema fundamental del cálculo
Competencia a desarrollar: Contextualizar el concepto de integral definida.
Visualizar la relación entre cálculo diferencial y el cálculo integral. Calcular
integrales definidas.

Introducción:
El problema esencial del Cálculo integral es calcular áreas de superficies,
particularmente área bajo lagráfica de una función. De manera más sencilla,
sumar áreas de rectángulos. Hay una diversidad de conceptos que son descritos
como el producto de dos variables, por ejemplo: Trabajo, fuerza por distancia;
fuerza como el producto de la presión por el área; masa como densidad por
volumen. En general, una variable (p) por su argumento (q). Si se define un plano
P Q, entonces la integral nos permitecalcular un “área” en éste. Hay una
diversidad de problemas en la ingeniería que son modelados y resueltos a través
de una Integral, por lo que resulta importante que el ingeniero domine el cálculo
integral.

1.1 Medición aproximada de figuras amorfas.

La idea de que el área es la medida que proporciona el tamaño de la región
encerrada en una figura geométrica proviene de la antiguedad.En el Antiguo
Egipto, tras la crecida anual de río Nilo inundando los campos, surge necesidad de
calcular el área de cada parcela agrícola para restablecer sus límites; para
solventar eso, los egipcios inventaron la geometría, según Heródoto
Refiriéndonos a la historia, el cálculo integral se dio a la luz gracias al problema
geométrico de hallar áreas de regiones no poligonales, es decir deregiones con
aspecto curvo.
El modo de calcular el área de un polígono como la suma de las áreas de los
triángulos, es un método que fue propuesto por primera vez por el sabio griego
Antifón hacia el año 430 a. C. Hallar el área de una figura curva entraña más
dificultad. El método de agotamiento consiste en inscribir y cincunscribir polígonos
en la figura geométrica, aumentar el número delados de dichos polígonos y hallar
el área buscada. Con este sistema, que se conoce como método de exhaución de
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M.T.A. Lilia Alvarado Delfín
M.C.A. José Luis Del Ángel Ruiz

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Eudoxo, consiguió hallar la fórmula para calcular el área de un círculo. Dicho
sistema fue empleado tiempo después por Arquímedes para resolver otros
problemassimilares, así como el cálculo aproximado del número π.
Una figura irregular no tiene todos sus lados iguales. Sus vértices no están
circunscritos en una circunferencia. Como se puede observar en la figura 1

Figu ra 1
Para calcular el perímetro de una figura irregular es necesario realizar la suma de
las longitudes de sus lados.
El área de la figura se obtiene triangulando el polígono y sumando elárea de
dichosa triángulos de la manera que se muestra en la figura 2. Se puede utilizar
la siguiente fórmula:
A = T

1

+ T

2

+ T

3

+ T

4

Figu ra 2

1.2 Notación sumatoria.

Cuando se requiere la suma de grandes masas de datos y es pertinente tener una
notación simplificada, se utiliza la notación sumatoria para indicar la suma de
estos datos. Así, si una variable sepuede denotar por X, entonces las
observaciones sucesivas de esta variable se escriben

En general, la i-ésima observación se escribe X ; i=1, ..., n.
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M.C.A. José Luis Del Ángel Ruiz

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La letra griega sigma mayúscula (S ) se emplea para indicar la suma de estas n
observaciones.

La notación
se lee: Suma deX sub-i (ó sigma sub-i) donde i asume todos
los valores de 1 hasta n, ó simplemente suma de X sub-i donde i va de 1 a n.
La letra debajo del operador S se llama índice de la suma; en la expresión

note que el índice de la suma es i.
Las sumatorias se pueden representar bajo dos tipos de notaciones:




Notación suma abierta.- Esta notación va de una representación de
sumatoria a...