Mapas De Karnaugh

5. Mapas de Karnaugh


5.1. Conceptos

Es la representación gráfica de una función booleana más utilizada en sistemas digitales.

Existe una relación uno a uno entre un mapa y una tabla de verdad. Una tabla tiene un renglón por cada mintérmino; y un mapa, como se verá, tiene un casillero o cuadro para cada mintérmino.

El mapa también puede ser considerado una extensión de losdiagramas de Venn. Consideremos un diagrama de Venn para dos variables A y B:











Si el orden de la variables para la asignación del código de mintérminos es AB, se puede rotular el diagrama con el número decimal asociado al mintérmino, queda:

























Puede observarse que resultan áreas desiguales para cada mintérmino; y que el gráfico reflejalas adyacencias entre mintérminos, pero no tan claramente como un 2-cubo, el cual se muestra en la figura siguiente:







En un mapa de Karnaugh se adopta un área igual, de forma cuadrada, para cada mintérmino; y además, estos cuadrados se disponen de tal forma que reflejen las adyacencias. Se ha superpuesto el 2-cubo, con un mapa de dos variables.












Laidentificación de los cuadros con el número del mintérmino, depende de la elección del orden de las variables que se haya elegido para la representación decimal equivalente. Por ejemplo, para dos variables A y B:














La representación de funciones mediante mapas, se logra marcando los mintérminos presentes con un "1"; los ceros suelen omitirse.

Por ejemplo, las funciones AND yOR , de dos variables, se representan en mapas según:













Nótese que f1=m3 ; y que f2=m1+m2+m3.

Mapa para tres variables.

Para tres variables A, B y C, se ilustran los mintérminos en un diagrama de Venn y en un 3-cubo:













La siguiente figura muestra un desarrollo de un 3-cubo. Nótese que al abrir las caras del cubo, los mintérminos que están adistancia uno, quedan adyacentes(exceptuando los de la cara que no se representa en el plano). Los códigos de los mintérminos quedan ordenados según código Gray. El 3-cubo muestra también la propiedad del código Gray de ser reflejado.















El siguiente diagrama muestra el desarrollo de un 3-cubo sobre el mapa de Karnaugh de tres variables:











Nóteseque m0 es adyacente a m1, m2 y m4. Entonces, en un mapa de Karnaugh se considera que los bordes son coincidentes, lo cual también refleja que la propiedad del código Gray de ser cíclico.
Es decir, un cilindro en este caso, y se suele mostrar el desarrollo en el plano.






El mapa para tres variables puede obtenerse con dos mapas de dos variables.
Resulta práctico colocar en un borde decada cuadrado el número del mintérmino. De esta forma, resulta cómodo expresar una forma canónica en un mapa.

5.2. Formas de Mapas

A continuación se ilustran mapas, para 3, 4 y 5 variables. Los valores de columnas y renglones se ordenan empleando código Gray, para reflejar mejor las adyacencias. El orden de las variables, para la representación decimal equivalente del mintérmino, figura enla base del mapa.





















Nótese que el mapa de 5 variables se obtiene a partir de dos mapas para n = 4. A uno se le antecede un cero en la codificación de las columnas y al otro un 1.




















Sin embargo esta forma de generar mapas, no refleja bien las adyacencias. Otra forma es una representación en el espacio:Mapas para 6 o más variables son difíciles de manejar.

5.3.- Manejo de Mapas

Los siguientes conceptos son útiles en la manipulación de mapas:

Un mapa de n variables tiene 2n cuadros.
Cada bloque o casillero de un mapa de n variables, tiene n bloques adyacentes; es decir, los códigos binarios de los mintérminos están a distancia uno.
Un...