mapeo inverso

Cap´ıtulo 2
Variable compleja
2.1

Definiciones de ´
algebra abstracta

Los m´etodos y procedimientos aplicados en las ramas de la ingenier´ıa moderna se basan
en conceptos matem´aticos abstractos. Los siguientes p´arrafos brindan un breve recorrido
por los conjuntos y las estructuras algebraicas que constituyen una base conceptual para
la comprensi´on de dichos m´etodos. Los t´erminospresentados a continuaci´on se refieren a
conceptos tratados ya en otros cursos introductorios de matem´atica, que sin embargo se
incursionan ahora desde un nuevo nivel de abstracci´on.

2.1.1

Conjuntos

Un conjunto C es una colecci´on de elementos ci denotada generalmente como
C = {c1 , c2 , c3 , . . .}
La pertenencia del elemento ci al conjunto C se indica con la notaci´on ci ∈ C, lo que se
lee como “cien C”.
Dos conjuntos se consideran iguales solo si contienen exactamente los mismos elementos,
es decir
A = B ⇔ ∀ai ∈ A ⇒ ai ∈ B ∧ ∀bi ∈ B ⇒ bi ∈ A .
Si A y B son dos conjuntos y todo elemento ai en A est´a contenido tambi´en en B entonces
se dice que A es un subconjunto de B (denotado con A ⊂ B). En otras palabras
A ⊂ B ⇔ ∀ai ∈ A ⇒ ai ∈ B

.

El conjunto vac´ıo ∅ = {} es siempre un subconjunto decualquier otro conjunto, y un
conjunto siempre es subconjunto de s´ı mismo.
La operaci´on de uni´on entre dos o m´as conjuntos de una colecci´on C = {C1 , C2 , C3 , . . .}
es el conjunto de todos los elementos contenidos en al menos uno de los conjuntos
9

10

2.1 Definiciones de ´algebra abstracta

C1 , C2 , C3 , . . . y se denota con C = C1 ∪ C2 ∪ C3 ∪ . . . =

i

Ci , es decir,

Ci = {c | c ∈C1 ∨ c ∈ C2 ∨ c ∈ C3 ∨ . . .}
i

La intersecci´on entre dos o m´as conjuntos de un colecci´on C = {C1 , C2 , C3 , . . .} es el
conjunto de elementos contenidos en todos los conjuntos, y se denota con C = C1 ∩ C2 ∩
C3 ∩ . . . = i Ci . Matem´aticamente
Ci = {c | c ∈ C1 ∧ c ∈ C2 ∧ c ∈ C3 ∧ . . .}
i

La diferencia entre dos conjuntos se denota como A \ B y es el conjunto de todos los
elementos de Aque no est´an en B, es decir
A \ B = {c | c ∈ A ∧ c ∈
/ B}
Lo anterior implica que (A \ B) ∩ A = (A \ B) y (A \ B) ∩ B = ∅.
La figura 2.1 muestra la representaci´on en diagramas de Venn de las operaciones anteriores.
B

A

B

A

A

A
A∪B

B

(a)

A

(b)

B
A∩B

(d)

A

B

(c)

B

A

B

A\B

B\A

(e)

(f)

Figura 2.1: Representaci´on en diagramas de Venn de operaciones entre dos conjuntos A y B.
Lasregiones sombreadas representan (a) el conjunto A, (b) el conjunto B, (c) la
uni´on de A y B, (d) la intersecci´on de A y B, (e) A menos B, (f) B menos A.

El producto cartesiano de dos conjuntos A y B, denotado por A × B, es un conjunto que
contiene todos los pares ordenados (a, b) con a ∈ A y b ∈ B.
A × B = {(a, b) | a ∈ A ∧ b ∈ B}
Este concepto se extiende a m´as de dos conjuntos, reemplazandolos pares ordenados por
tuplas. Por ejemplo, el conjunto A × B × C contiene todas las tuplas (a, b, c) con a ∈ A,
b ∈ B y c ∈ C.
c 2005-2008 — P. Alvarado

Uso exclusivo ITCR

2 Variable compleja

2.1.2

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Estructuras algebraicas

Una estructura algebraica se compone de dos partes: por un lado un conjunto (como por
ejemplo el conjunto de los n´
umeros naturales, un conjunto binario de doselementos {0, 1},
el conjunto de los n´
umeros racionales, etc.) y por otro lado una o varias operaciones que
deben satisfacer axiomas dados. La estructura algebraica se denota con (C, O) donde C
denota al conjunto y O al conjunto de operaciones. Si no hay ambig¨
uedades usualmente
se usa C para denotar tanto al conjunto como a la estructura algebraica.
Las operaciones involucradas son usualmenteunarias o binarias, implicando el n´
umero
de elementos que toma la operaci´on para producir un nuevo elemento. Las operaciones
unarias toman un solo elemento (por ejemplo, el valor absoluto de un n´
umero) y se
representan como una relaci´on entre elementos de dos conjuntos C → D. Las operaciones
binarias toman dos elementos para producir uno nuevo, lo que se denota con C × C →
D (por ejemplo, la...