maple

Tasca 2 - Matrius i sistemes (Grup C)
Nota:
Abans de les 23 h, s’ha de penjar un arxiu a Atenea amb la resolució dels
exercicis de Maple de la tasca.
Divendres 11 d’octubre : Hi haurà a Atenea un arxiu amb la resolució de la tasca.

Dijous 10 d’octubre :

Prova sobre la tasca :
Dimecres 16 d’octubre (durada 45 min)
Divendres 18 d’octubre: Arxiu amb la resolució de la prova i lapuntuació dels exercicis a Atenea
Dilluns 21 d’octubre: Penjar a Atenea un arxiu en pdf de la prova corregida amb la nota que li
correspongui.
1. Donades les matrius
=

µ

¶

1 0
2 1



=

µ

1 0
−2 1

¶

 =

µ

0 1
−1 2

¶

i sabent que  =  resoleu les següents equacions essent  la matriu incògnita.:
(a)  + 3 = 2
(b)  −  =  2 + 

(c) 2 +    =
∙
µ
¶
−7 2
(d)  : a)  =
;
2 1

b)  :=

µ

1 0
3 4

¶

;

c)  :=

µ

0 −1
1 −2

¶¸

2. Donades les matrius   i  se sap que
(a)  i  commuten
(b) 2 = 
⎛

⎞
1 1 1
(c)  = ⎝ 0 1 0 ⎠
1 1 1
(d)  = −3
es demana de resoldre l’equació
⎡

⎛

⎣ :  = ⎝

 +  = 

⎞⎤

−3 −3 −3
0 −3
0 ⎠⎦
−3 −3 −3

3. (Resolució amb MAPLE) Donades lesmatrius
⎛
⎞
⎛
⎞
2 1 0
0 −1
1
1 −1 ⎠ 
 = ⎝ −1 1 1 ⎠   = ⎝ 1
1 0 2
2
3
0
Resoldre l’equació matricial

on  és la matriu incògnita .
4. Donada la matriu

⎡

⎞
1
1 0
 = ⎝ −2 −1 0 ⎠
2
3 1

 −1  +   = 
⎛ 18 24
⎞⎤
2
7

7

2
1
−1
0

−3
0
0
0

7

⎣ :  = ⎝ −2 −4 −1 ⎠⎦
−1 −5 −4
⎛

0
⎜ 4
=⎜
⎝ 2
1

⎞
−1
0 ⎟
⎟
1 ⎠
−2

⎛

(a) calcularel valor del seu determinant;
(b) justificar si la matriu té inversa;
(c) si la matriu és invertible, usar el Maple per calcular la seva inversa. [ : a) || = −39]
5. Siguin  i  les matrius
⎛

Sabent que  = 

⎞
1 −1
0
=⎝ 1
0 −1 ⎠
−6
2
3

i

⎛

⎞
−2 −3 −1
 = ⎝ −3 −3 −1 ⎠
−2 −4 −1

(a) determinar de la forma més breu possible, raonant la resposta, la inversa de lamatriu ;
(b) determinar anàlogament la inversa de la matriu 
6. Donada la matriu

⎞
0 +1
2 − 1
0 ⎠
 = ⎝ 2 − 2  − 2
3
1
1
⎛

(a) calcular el determinant; [ : || = 23 − 6 − 4]

(b) determinar per a quins valors de  el determinant és nul; [ :  = −1 2]
(c) discutir segons els valors de  en quins casos la matrius  té inversa.

7. Donat el sistema

⎧
⎨ 21 − 2 −3 − 44 = 9
41 − 33 − 4 = 0
⎩
81 − 22 − 53 − 94 = 18

(a) Escriure’l en forma matricial.

(b) Justificar, sense resoldre el sistema, si algun dels següents vectors és solució del sistema:
¶
µ
3 17
 −  1 0  (1 −1 3 2) (0 −9 0 0)
4
2
(c) És un sistema homogeni?
8. Es considera la matriu

⎛

⎞
2 −1 3
 = ⎝ −4
2  ⎠
4 −2 6

(a) Si  és la matriu ampliada d’unsistema lineal, quin és el nombre d’equacions i quin el de
variables?
(b) Si  és la matriu ampliada d’un sistema lineal, trobar, usant el mètode de Gauss, per a
quins valors de  és compatible. [ :  = −6]

(c) Si  és la matriu de coeficients d’un sistema lineal homogeni, determinar el nombre d’equacions
i de variables.

(d) Si  és la matriu de coeficients d’un sistema lineal homogeni,trobar, usant el mètode de
Gauss, els valors de  per als quals és compatible i discutir els tipus de compatibilitat.
9. Donats els sistemes

a)

⎧
⎨ −21 + 2 + 3 = 1
1 − 22 + 3 = −2
⎩
1 + 2 − 23 = 4

i

b)

⎧
⎪ 2 − 2 +  + 4 = 0
⎪
⎨
 −  − 4 + 2 = 0
⎪ − +  + 3 − 2 = 0
⎪
⎩
3 − 3 +  + 6 = 0

(a) justificar, sense resoldre’ls, de quin dels dos sistemeses pot assegurar la compatibilitat;
(b) estudiar i resoldre’ls pel mètode de Gauss o Gauss-Jordan.
⎡ ⎧
⎤
⎨ a) sistema incompatible (no té solució)
b) sistema compatible indeterminat amb dos graus de llibertat: ⎦
(c) ⎣ :
⎩
 =  − 2  =   = 0  = 

10. Donats els sistemas:

a)

⎧
⎨ ++ =5
 − 5 −  = 1
⎩
2 +  + 5 = 6

i

b)

⎧
⎨ ++ =0
− =1
⎩
2...