Mar y sus condiciones

INTEGRACION POR PARTES
Consideremos la derivada de un producto de funciones dependientes de la misma variable:

d (u.v) = u.dv + v.du
Despejando el primer término, tenemos:u.dv = d (u.v ) − v.du

Integrando para hallar la antiderivada:

∫ u.dv = ∫ d (u.v) − ∫ v.du
Y Tomando la antiderivada de la derivada es:

∫ u.dv = u.v − ∫ v.du
Que es lafórmula de integración por partes.

EJEMPLO 1:

Evaluar

∫ xe

x

dx

Cuando se tiene una integral como la anterior, no podemos integrarla directamente, ni tampocohacer una sustitución. Es aquí donde se utiliza el método de integración por partes que tiene dos formas de hacerse la primera es como sigue: En este caso vamos a identificar a u comouna parte de la integral y dv al resto de la integral. Para este caso definiremos a la parte que se deriva como u = x y a la parte que se va a integrar es

dv = e x dx
X

yentonces hacemos las respectivas operaciones:

u=x
du = dx

∫ dv = ∫ e

x

dx

-

v = ex + c

para obtener la solución de esta integral se aplica la fórmula generalpara todas la integrales por partes:

∫ u.dv = uv − ∫ vdu
para este caso obtendríamos lo siguiente:

∫ udv = x(e

x

+ c ) − ∫ (e x + c ) dx

= xe x + cx − e x − cx + c =xe x − e x + c
NOTA: Observe que la constante c de la primera integración se canceló al simplificar el cálculo de la integral. Luego vemos que no es necesaria utilizar talconstante.

Ejemplo 2:

Calcular Solución:

∫ ln xdx .

Como solo la integral está compuesta por una sola función, entonces tomamos

u = ln x 1 du = dx x
Utilizando lafórmula de integración por partes,

dv = dx

v=x

1 x ln x − ∫ x. dx ∫ ln xdx = x
Simplificando e integrando, el resultado obtenido es:

∫ ln xdx =

x ln x − x + c