Maravillas del mundo

ESCUELA DE CIENCIAS Y HUMANIDADES DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS CÁLCULO I FUNCIONES COMO MODELOS MATEMÁTICOS

1.

Una caja abierta se va a construir a partir de una pieza cuadrada de material, de 24 pulgadas de lado, cortando cuadrados iguales a partir de las esquinas y doblando los bordes. Exprese el volumen de la caja así formada en función del lado x del cuadrado recortado. Rta.

V =4 x 3 − 96 x 2 + 576 x

2.

Sea P el producto de dos enteros. Si la suma del primero con el duplo del segundo es

100 , exprese P en función de cada uno de los números. Rta. P = 50 x −
3.

x2 2

Sea S la suma de dos enteros. Si uno de ellos es el recíproco del otro, exprese la suma S en función de cada uno de ellos. Rta. S =

1 + y2 y

4. Un granjero planea cercar un pastizalrectangular adyacente a un río. El pastizal debe contener 180000 m 2 para proporcionar suficiente pastura para el rebaño. Exprese la longitud total del cercado en función del largo, si se sabe que no es necesario vallar a lo largo del río. Rta. L = x +

360000 x

5. Un ganadero tiene 200 pies de cercado con los cuales delimita dos corrales rectangulares adyacentes. Exprese el área de los doscorrales en función del largo x. Rta. A =

8 ( 50 x − x 2 ) 3

1

6. Exprese el volumen de un sólido rectangular (con base cuadrada) en función del lado x de la base, si su área superficial total es de 337,5cm . Rta.
2

V = 84,375 x −

1 3 x 2

7. Una ventana normanda se construye juntando un semicírculo a la parte superior de una ventana rectangular ordinaria. Exprese el área de la ventanaen función del lado x , si se sabe que su perímetro total es de 16 pies . Rta. 8

8. Un rectángulo está cortado por los ejes x y y y la gráfica de y =

6− x . Exprese el área del rectángulo en 2 x2 función de x . Rta. A = 3 x − 2

9. Un triángulo rectángulo se forma en el primer cuadrante mediante los ejes x y y y una recta que pasa por el punto (1, 2 ) . Escriba la longitud L de lahipotenusa en función de

x.

Exprese también su área en función de x .

Rta.

2   L = x + 4+2+  , x −1  
2

2

A= x+

x x −1

2

10. Un triángulo isósceles se inscribe en una circunferencia de radio 4 . Exprese el área en función de h y luego en función de α . Rta. A = 16 − h 2 ( h + 4 ) , A = 64 cos 4 α tan α

11. Un rectángulo está delimitado por el eje x y lasemicircunferencia y = 25 − x 2 . Exprese el área en función de su largo x . Rta. A = 2 x 25 − x 2

12. Un rectángulo se inscribe en un círculo de radio R. Halle su área en función de su largo

x. Rta. A = 2 x R 2 − x 2
13. Una página rectangular contendrá 30 pulgadas cuadradas de texto impreso. Los márgenes de cada lado son de 1 pulgada. Encuentre el área de la página en función del largo x de textoimpreso. Rta. A = ( x + 2 ) 

 30  + 2  x 
Los

14. Una página rectangular contendrá 36 pulgadas cuadradas de área impresa. márgenes de cada lado serán de 1

1 pulgadas. Encuentre el área de la página en 2  36  función del largo x de texto impreso. Rta. A = ( x + 3)  + 3  x 
15. Un paquete rectangular que se va a enviar por un servicio postal puede tener una longitud y un perímetroque tiene un máximo de 108 pulgadas. Determine el volumen en función de su arista x. Rta. V = 108 x 2 − 4 x 3

3

16. Resuelva el ejercicio anterior, pero ahora para un paquete cilíndrico.

Rta.

V = π r (108 − 2π r )
17. Un cono circular recto se inscribe en una esfera de radio R . Encuentre su volumen en función de su radio x. Rta. V = π x 2 R + R 2 − x 2 18. Un cilindro circularrecto se inscribe en una esfera de radio R. Encuentre el volumen en función de su radio x. Rta. V = 2π x 2 R 2 − x 2

2

1 3

(

)

19. Un cono circular recto de radio r se inscribe en otro cono circular recto invertido de altura H y radio R. Encuentre el volumen del primero en función de su altura h. Rta.

V=

π R2
3H
2

(H

2

h − 2 Hh 2 + h3 )

20. Un cilindro circular...