marciano

Producto escalar
En matemática, el producto escalar, también conocido como producto interno, producto interior o producto punto, es una operación binaria definida sobre dos vectores de unmismo espacio euclídeo. El resultado de esta operación es un número o escalar. Esta operación permite explotar los conceptos de la geometría euclídea tradicional: longitudes, ángulos, ortogonalidad en dos ytres dimensiones. El producto escalar puede definirse también en los espacios euclídeos de dimensión mayor a tres, y en general en los espacios vectoriales reales y complejos. Los espacios vectorialesdotados de producto escalar reciben el nombre de espacios prehilbertianos.

El producto interior o producto escalar de dos vectores en un espacio vectorial es una forma bilineal, hermítica y definidapositiva, por lo que se puede considerar una forma cuadrática definida positiva.
Un producto escalar se puede expresar como una expresión:

donde  es un espacio vectorial y  es el cuerpo sobre elque está definido . La función  (que toma como argumentos dos elementos de, y devuelve un elemento del cuerpo ) debe satisfacer las siguientes condiciones:
1. Linealidad por la izquierda: , ylinealidad conjugada por la derecha: 
2. Hermiticidad: ,
3. Definida positiva: , y  si y sólo si x = 0,
donde  son vectores de V,  representan escalares del cuerpo  y  es el conjugado del complejo c.
Siel cuerpo tiene parte imaginaria nula (v.g., ), la propiedad de ser sesquilineal se convierte en ser bilineal y el ser hermítica se convierte en ser simétrica.
También suele representarse por:Un espacio vectorial sobre el cuerpo  o  dotado de un producto escalar se denomina espacio prehilbert o espacio prehilbertiano. Si además es completo, se dice que es unespacio de Hilbert. Si la dimensiónes finita y el cuerpo es el de los números reales, se dirá que es un espacio euclídeo; si el cuerpo es el de los números complejos (y la dimensión es finita) se dirá que es un espacio unitario....