Marco teorico aplicaciones de la derivacion

MARCO TEORICO
*APLICACIONES DE LA DERIVACION

-LA DERIVADA DE UN EXTREMO

Se puede decir que Si la Función f es continua en algún intervalo como [a,b]. Entonces como es continua es derivable. Es lógico pensar que si la función está definida en el intervalo entonces también debe de tener máximo para esta función. Es decir
fc≥fx
Podemos además decir que si c no es ni a ni b, es decir si cesta en el intervalo abierto (a,b), entonces el gráfico será el siguiente: ya que el intervalo c está entre los dos puntos

-EL TEOREMA DE ROLLE EXPLICA Y DICE LO SIGUIENTE:

Dice Que Si: f es una función continua definida en un intervalo cerrado [a,b] entonces f es derivable sobre el intervalo abierto (a,b)
fa= f(b)
Entonces: existe al menos un número que pertenezca al intervalo que hayentre (a,b) el cual f seria igualado a cero f'c=0.

Otra forma de explicarlo en palabras más sencillas es Si una curva regular sale y llega a la misma altura, en algún punto tendrá una tangente horizontal. En la figura se ven tres casos distintos. Si la función empieza subiendo, luego tendrá que bajar para reencontrar su valor inicial, entre la subida y la bajada, hay un punto donde lafunción alcanza un máximo, y en éste, f ' se anula. Lo mismo sucede si la función empieza bajando, y f ' es nula en el mínimo de f. El tercer ejemplo muestra que no se garantiza la que estén relacionados los dos puntos de c que existen entre a y b.

-TEOREMA DEL VALOR MEDIO

En este se dice que Si: f es una función continua que se define en un intervalo [a, b] entonces f es derivable sobre elintervalo (a, b)
Esto significaría que existe al menos un número c en el intervalo (a, b) el cual se obtendría de la siguiente manera:
F'c=fb-f(a)b-a

Un ejemplo de lo que se acaba de Explicar es la Siguiente grafica:

Es decir que existe un punto en donde la tangente es paralela a la cuerda AB.
Su prueba es sencilla, pues utiliza el teorema precedente.
Sea p la pendiente de la cuerda: p =(f(b) - f(a)) / (b - a), y se define la función g(x) = f(x) - p·x.
Entonces g(b) - g(a) = f(b) - p·b - (f(a) - p·a) = f(b) - f(a) - p(b - a) = f(b) - f(a) -(f(b) - f(a)) = 0, y g como f, son continuas sobre [a, b] y se derivan en su interior.
Según el teorema anterior, existe un c en (a, b) el cua es que g '(c) = 0; pero esto se escribe f ' (c) = p.

-FUNCIONES CRECIENTES & DECRECIENTES- FUNCIÓN ESTRICTAMENTE CRECIENTE EN UN INTERVALO

Una Función f(x) es estrictamente creciente en un intervalo (a,b), si para dos valores cualesquiera del intervalo X1 y X2 se cumple que:
fX2-fX1X2-X1>0

Cuando en la gráfica de una función estrictamente Creciente
Cuando nos movemos hacia la derecha también
Nos movemos hacia arriba:

X2>X1⇒fX2>FX1

-FUNCIÓNCRECIENTE EN UN INTERVALO
Una función f(x) es creciente en un intervalo (a,b) , si para dos valores que sean del intervalo , X1 y X2, se cumple que:
fX2- f(X1)X2- X1≥0

-FUNCIÓN ESTRICTAMENTE DECRECIENTE EN UN INTERVALO
Una f(x), es estrictamente decreciente en un intervalo (a,b), si para dos valores cualesquiera del intervalo, X1 y X2, se cumple que :
fX2- fX1X2- X1<0

Cuando enla gráfica de una función estrictamente
Decreciente y al movemos hacia la derecha también
Nos movemos hacia abajo:
X2>X1⇒fX2<FX1

-FUNCION DECRECIENTE EN UN INTERVALO
Una función f(x) es creciente en un intervalo (a,b) , si para dos valores que sean del intervalo , X1 y X2, se cumple que:
fX2- f(X1)X2- X1≤0

-LÍMITES EN EL INFINITO
El infinito es una idea muy especial.Sabemos que no podemos alcanzarlo, pero podemos calcular el valor de funciones que tienen al infinito dentro.

De hecho 1/∞ es indefinido.

Pero se Puede acercar al ∞ (infinito)

Así que en lugar de intentar calcular con infinito (porque no sacaremos ninguna respuesta razonable), vamos a probar con valores de x más y más grandes:
x | 1/x |
1 | 1.00000 |
2 | 0.50000 |
4 | 0.25000 |...