MARCOS EN 2D
Páginas: 5 (1024 palabras)
Publicado: 12 de abril de 2015
MARCOS EN 2D
Cuando se tienen marcos (pórticos) que se pueden describir en 2 dimensiones (marcos planos)
se puede usar elementos viga que tienen 3 grados de libertad por cada nodo: deformaciones
en las direcciones (x,y) y rotaciones en el eje z. Los demás grados de libertad no influyen en
este tipo de problemas, simplificando la complejidad de los marcos espaciales.
El procedimiento de análisisasume un elemento viga en el espacio con los grados de libertad
tal como se muestran en la figura #1:
y
x
Figura #1. Elemento viga en un plano (x,y)
Al observar la figura anterior, se puede intuir que las deformaciones en alguno de los grados
de libertad pueden determinar fuerzas resultantes en otro de los grados de libertad. Por
ejemplo, asumiendo que al elemento de la figura se le aplica fuerzaP en el grado de libertad
u1 mientras se mantienen fijos los demás grados de libertad, esta fuerza inducirá una fuerza
cortante de sentido opuesto en el grado de libertad u2:
Figura #2. Cortante en los nodos debido a deformación u1
Así pues, la matriz de rigidez expresara la manera en que se distribuyen las fuerzas internas del
elemento cuando una fuerza externa actúa en alguno de los grados delibertad:
[
]
En la anterior, k11 simboliza las fuerzas internas del nodo 1 debido a deformaciones del nodo 1,
k12 simboliza las fuerzas internas en el nodo 1 debido a deformaciones del nodo 2, y
sucesivamente.
Asumiendo que el elemento posee una longitud L, área transversal A, momento de inercia
respecto al eje local z’ I, y además está hecho de un material con módulo de elasticidad E, setiene que la matriz de rigidez del elemento respecto a su sistema local de coordenadas (x’, y’)
se escribe como:
[
]
En la anterior expresión, se tiene que
La matriz de transformación de coordenadas que permite expresar la matriz de rigidez en
términos de las coordenadas globales (x,y) se define como
[
]
Finalmente, la matriz de rigidez del elemento se expresa en coordenadas globales (x,y):Ejemplo
Suponga que se tiene una estructura de dos niveles con los grados de libertad mostrados y
para el cual se quiere obtener la matriz de rigidez:
v2
u2
Nodo 2 θ2
L
v1
u1
Nodo 1 θ1
L
v0
θ0
Nodo 0
u0
Figura #3. Sistema estructural de 3 nodos
Puede observarse que el sistema tiene 3 grados de libertad por cada nodo, y se pueden usar 2
elementos viga para conectar los nodos 0-1-2. Tambiénpuede verse que para hacer coincidir la
dirección de los grados de libertad del elemento viga mostrado en la figura #1 con los grados
de libertad del elemento entre los nodos 0 y 1 es necesario asumir un ángulo de rotación = 90°.
[
]
(
[
]
)
[
(
]
)
[
]
Puesto que el elemento 2 posee los mismos parámetros A, E, I, L, que el primer elemento, y
además tiene el mismo ángulo de rotación,se puede establecer que la matriz de rigidez del
segundo elemento ubicado entre los nodos 1 y 2 es igual que la matriz de rigidez del elemento
entre los nodos 0 y 1:
(
)
[
]
Puesto que la estructura de la figura #3 muestra que los elementos 1 y 2 se conectan a través
del nodo #2, la matriz de rigidez de toda la estructura se obtiene al ensamblar las matrices del
elemento 1 y 2 a través de suconectividad:
[
]
[
[
]
[
]
]
[
]
[
]
[
]
La ley de Hooke para esta estructura relaciona las fuerzas internas con los desplazamientos de
los grados de libertad:
[
]{
}
En la figura #3 puede verse que el nodo 0 esta empotrado, por lo que todos sus grados de
libertad poseen cero deformación:
{
}
{ }
Lo anterior indica que la matriz de rigidez puede considerar únicamente losgrados de libertad
activos (aquellos que no se multiplican por una deformación igual a cero). Por tanto, podemos
eliminar las primeras 3 columnas y las primeras 3 filas para reducir la matriz de rigidez:
[
]
La anterior es la matriz de rigidez para la estructura mostrada en la figura #3. La Ley de Hooke
permite observar cuales son los grados de libertad asociados con cada componente de la
matriz...
Cuando se tienen marcos (pórticos) que se pueden describir en 2 dimensiones (marcos planos)
se puede usar elementos viga que tienen 3 grados de libertad por cada nodo: deformaciones
en las direcciones (x,y) y rotaciones en el eje z. Los demás grados de libertad no influyen en
este tipo de problemas, simplificando la complejidad de los marcos espaciales.
El procedimiento de análisisasume un elemento viga en el espacio con los grados de libertad
tal como se muestran en la figura #1:
y
x
Figura #1. Elemento viga en un plano (x,y)
Al observar la figura anterior, se puede intuir que las deformaciones en alguno de los grados
de libertad pueden determinar fuerzas resultantes en otro de los grados de libertad. Por
ejemplo, asumiendo que al elemento de la figura se le aplica fuerzaP en el grado de libertad
u1 mientras se mantienen fijos los demás grados de libertad, esta fuerza inducirá una fuerza
cortante de sentido opuesto en el grado de libertad u2:
Figura #2. Cortante en los nodos debido a deformación u1
Así pues, la matriz de rigidez expresara la manera en que se distribuyen las fuerzas internas del
elemento cuando una fuerza externa actúa en alguno de los grados delibertad:
[
]
En la anterior, k11 simboliza las fuerzas internas del nodo 1 debido a deformaciones del nodo 1,
k12 simboliza las fuerzas internas en el nodo 1 debido a deformaciones del nodo 2, y
sucesivamente.
Asumiendo que el elemento posee una longitud L, área transversal A, momento de inercia
respecto al eje local z’ I, y además está hecho de un material con módulo de elasticidad E, setiene que la matriz de rigidez del elemento respecto a su sistema local de coordenadas (x’, y’)
se escribe como:
[
]
En la anterior expresión, se tiene que
La matriz de transformación de coordenadas que permite expresar la matriz de rigidez en
términos de las coordenadas globales (x,y) se define como
[
]
Finalmente, la matriz de rigidez del elemento se expresa en coordenadas globales (x,y):Ejemplo
Suponga que se tiene una estructura de dos niveles con los grados de libertad mostrados y
para el cual se quiere obtener la matriz de rigidez:
v2
u2
Nodo 2 θ2
L
v1
u1
Nodo 1 θ1
L
v0
θ0
Nodo 0
u0
Figura #3. Sistema estructural de 3 nodos
Puede observarse que el sistema tiene 3 grados de libertad por cada nodo, y se pueden usar 2
elementos viga para conectar los nodos 0-1-2. Tambiénpuede verse que para hacer coincidir la
dirección de los grados de libertad del elemento viga mostrado en la figura #1 con los grados
de libertad del elemento entre los nodos 0 y 1 es necesario asumir un ángulo de rotación = 90°.
[
]
(
[
]
)
[
(
]
)
[
]
Puesto que el elemento 2 posee los mismos parámetros A, E, I, L, que el primer elemento, y
además tiene el mismo ángulo de rotación,se puede establecer que la matriz de rigidez del
segundo elemento ubicado entre los nodos 1 y 2 es igual que la matriz de rigidez del elemento
entre los nodos 0 y 1:
(
)
[
]
Puesto que la estructura de la figura #3 muestra que los elementos 1 y 2 se conectan a través
del nodo #2, la matriz de rigidez de toda la estructura se obtiene al ensamblar las matrices del
elemento 1 y 2 a través de suconectividad:
[
]
[
[
]
[
]
]
[
]
[
]
[
]
La ley de Hooke para esta estructura relaciona las fuerzas internas con los desplazamientos de
los grados de libertad:
[
]{
}
En la figura #3 puede verse que el nodo 0 esta empotrado, por lo que todos sus grados de
libertad poseen cero deformación:
{
}
{ }
Lo anterior indica que la matriz de rigidez puede considerar únicamente losgrados de libertad
activos (aquellos que no se multiplican por una deformación igual a cero). Por tanto, podemos
eliminar las primeras 3 columnas y las primeras 3 filas para reducir la matriz de rigidez:
[
]
La anterior es la matriz de rigidez para la estructura mostrada en la figura #3. La Ley de Hooke
permite observar cuales son los grados de libertad asociados con cada componente de la
matriz...
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