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Interpolación polinómica de Lagrange

Definición[editar]
Dado un conjunto de k + 1 puntos

donde todos los xj se asumen distintos, el polinomio interpolador en la forma de Lagrange esla combinación lineal

de bases polinómicas de Lagrange

Demostración[editar]
La función que estamos buscando es una función polinómica L(x) de grado k con el problema de interpolación puede tener tan solouna solución, pues la diferencia entre dos tales soluciones, sería otro polinomio de grado k a lo sumo, con k+1 ceros.
Por lo tanto, L(x) es el único polinomio interpolador.
Concepto[editar]
Laresolución de un problema de interpolación lleva a un problema de álgebra lineal en el cual se debe resolver un sistema de ecuaciones. Usando una base monómica estándar para nuestro polinomiointerpolador, llegamos a la matriz de Vandermonde. Eligiendo una base distinta, la base de Lagrange, llegamos a la forma más simple de matriz identidad = δi,j, que puede resolverse inmediatamente.
Uso[editar]Ejemplo[editar]

La función tangente y su interpolador.
Se desea interpolar  en los puntos










Con cinco puntos, el polinomio interpolador tendrá, como máximo, grado cuatro (esdecir, la máxima potencia será cuatro), al igual que cada componente de la base polinómica.
La base polinómica es:





Así, el polimomio interpolador se obtiene simplemente como la combinaciónlineal entre los  y los valores de las abscisas:




Desventajas de su uso[editar]
Si se aumenta el número de puntos a interpolar (o nodos) con la intención de mejorar la aproximación a unafunción, también lo hace el grado del polinomio interpolador así obtenido, por norma general. De este modo, aumenta la dificultad en el cálculo, haciéndolo poco operativo manualmente a partir del grado 4,dado que no existen métodos directos de resolución de ecuaciones de grado 4, salvo que se puedan tratar como ecuaciones bicuadradas, situación extremadamente rara.
La tecnología actual permite...