Marginal

Análisis marginal
En economía, el uso de la derivada para aproximar el cambio que ocurre en la
cantidad como resultado del incremento de la producción en una unidad se
denomina análisis marginal.
Costo marginal
Si C (x ) representa el costo total de producción de x unidades de un cierto
artículo, C ' (x o ) representa el costo marginal de producción de x o unidades.

El valor de C ' (x o )representa, aproximadamente, el costo de producir la
unidad x o + 1 .
Ejemplo 1
El costo total (semanal), en dólares, por la fabricación de x discos por parte de
una compañía grabadora es
C (x ) = 2000 + 2x − 0.0001x 2

0 ≤ x ≤ 6000

a. Calcular C (1000) . Interprete.
b. Calcular el costo total de fabricar 1001 discos.
c. Calcular el costo de fabricar el disco 1001.
d. Calcular C ' (1000) . Interprete.e. Calcular el costo marginal de fabricar 2000 discos.
f. Calcular el costo de fabricar el disco 2001.

Resolución
Tenemos

C (x ) = 2000 + 2x − 0.0001x 2

Donde:

C (x ) : Costo total (dólares)
x:

a. Nos piden:

0 ≤ x ≤ 6000

cantidad de discos fabricados

C (1000)
C (1000 ) = 2000 + 2(1000 ) − 0.0001(1000 )

2

C (1000 ) = 3900
Interpretación:
“El costo total de fabricar 1000 discos es de$3900”
b. Nos piden:

El costo total de fabricar 1001 discos.
Es decir, nos piden: C (1001)

http://matematidat.blogspot.com

C (1001) = 2000 + 2(1001) − 0.0001(1001)

2

C (1001) = 3901.7999
El costo total de fabricar 1001 discos es de $3901.7999
c. Nos piden:

El costo de fabricar el disco 1001.

Si C (1001) representa el costo de fabricar 1001 discos y C (1000) representa el

costo de fabricar 1000discos, la diferencia C (1001) − C (1000 ) representa el

costo de fabricar el disco número 1001.

C (1001) − C (1000 ) = 3901.7999 − 3900
C (1001) − C (1000) =1.7999
Luego, el costo de fabricar el disco 1001 es de $1.80.

C ' (1000)

d. Nos piden:
Tenemos:

C (x ) = 2000 + 2x − 0.0001x 2

Derivando:

C ' (x ) = 2 − 0.0002x
C ' (1000 ) = 2 − 0.0002(1000 )

Cuando x = 1000 :

C ' (1000 ) = 1.80Daremos dos interpretaciones:
“El costo marginal de fabricar 1000 discos es $1.80”
“Aproximadamente, el costo de fabricar el disco número 1001 es $1.80”
e. Nos piden:

El costo marginal de fabricar 2000 discos.
Es decir:

Tenemos:

C ' (2000)

C ' (x ) = 2 − 0.0002x
Cuando x = 2000 :

C ' (2000 ) = 2 − 0.0002(2000 )
C ' (2000) = 1.60

Esto significa que “aproximadamente, el costo de fabricar el disconúmero
2001 es $1.60”
f. Nos piden:

Calcular el costo de fabricar el disco 2001.

El costo de fabricar el disco número 2001 está dado por la diferencia:
C (2001) − C (2000 )

http://matematidat.blogspot.com

C (2001) = 2000 + 2(2001) − 0.0001(2001)

2

C (2001) = 5601.5999

C (2000 ) = 2000 + 2(2000 ) − 0.0001(2000 )

2

C (2000 ) = 5600

Luego:

C (2001) − C (2000 ) = 5601.5999 − 5600
C (2001)− C (2000 ) =1.5999

Esto significa que el costo (real) de fabricar el disco 2001 es de $1.5999.

Comentario
Como se puede notar, el valor de C ' (1000 ) = 1.80 , que es el costo marginal de
fabricar
1000
discos,
es
aproximadamente
igual
al
valor
de
C (1001) − C (1000) =1.7999 , diferencia que representa el costo (real) de fabricar
el disco número 1001. Lo que confirma la teoría del costo marginal.Es decir, C ' (1000) representa, aproximadamente, el costo de fabricar el disco
número 1001.
Lo

mismo

podemos

decir

de

C ' (2000) = 1.60 ,

valor

que

representa,

aproximadamente, el costo de fabricar el disco número 2001.
Nótese además que el costo de fabricar el disco número 2001, es decir un
disco adicional a los primeros 2000, es menor que el costo de fabricar un disco
adicional a losprimeros 1000 discos. Este tipo de información suele ser útil al
momento de tomar decisiones acerca de producir o no una unidad adicional.

Ingreso marginal
Si I (x ) representa el ingreso debido a la venta de x unidades de un cierto
artículo, I ' (x o ) representa el ingreso marginal por la venta de x o unidades.

El valor de I ' (x o ) representa, aproximadamente, el ingreso por la venta de...