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PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES
E l p r o d u c t o e s c a l a r d e d o s v e c t o r e s e s u n nú m e r o r e a l q u e r e s u l t a a l m u l t i p l i c a r
el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman si los vectores
s o n n o nu l o s y c e r o s i u n o d e l o s d o s ve c t o r e s e s n u l o .

0
 Como

si

o

so n n o nulo s

si

o

es elvector nulo

;

s o n n ú m er o s r e a l e s e l pr o d u c to e s c a l a r d e d os v e c t o r e s

e s u n n ú m er o r e a l qu e p u e d e s e r p o s i tiv o , n e g a t i v o o n u l o .
 E l p r o d u c t o e s c a l a r e s n u l o e n e l c a s o d e q u e l o s v e c t o r e s s e a n p e r p e n d i c ul a r e s
u o r t o g o n a l e s y a q ue e n t o n c e sInterpretación geométrica del producto escalar
El valor absoluto del producto escalar de dos vectores no nulos es igual al
m ó d u l o d e u n o d e e ll o s p o r l a pr o y e c c i ó n d e l o tr o s ob r e é l .
En

la

figura

vectores

se

representan

dos

. A l pr o y ec t a r e l v e c t o r

s o b r e l a dir e c c i ó n d e l v e c t or
obtiene el vector

, se

cuyo móduloc o i n c i d e c o n l a m ed i d a d e l s e g m e n t o
OA´.
Se cumple:

Teniendo en cuenta:
O A ´ = pr o y d e

sobre

=

Entonces

Nenina Martín Ossorio
Matemáticas II 1

Ejemplo
H a l l a r l a pr o y e c c i ó n d e l v e c t or

= ( 2 , 1) s ob r e e l v e c t o r

= (−3, 4).

Propiedades del producto escalar
1Conmutativa

2 Homogénea

3 Distributiva delproducto escalar respecto de la suma en V 3

4 E l p r o d u c t o e s c a l a r d e u n v e c t o r no n u l o p o r s í m is m o s i e m p r e e s p o s i ti v o .

Algunas bases especiales

B as e n o r m a d a
u3

B as e o r t o g o n a l

u2

u3

Base ortonormal

u2
u3

u1
V e c t o r e s u n i t ar i o s

u1
Vectores ortogonales

u2

u1
Vectores unitarios
yortogonales

Nenina Martín Ossorio
Matemáticas II 2

Expresión analítica del producto escalar
Sea

u n a b as e c ua l q u i er a d e l e s p a ci o

V3

y

d o s v e c t o r es

c u a l e s q u i er a . C o m o c a d a v e c t o r s e de s c o m p o n e d e m o d o ú n i c o e n f u n c i ó n d e l o s
v e c t o r e s d e l a b as e , s e t i e n e :
y
A p l i c a n d o l a s pr o pie d a d e s d e l pr o du c t o e s c a l a r , r e s u l t a:

E s t a e x p r e si ó n s e si m p l i f i c a e n e l c as o d e qu e l a b as e s e a d e c i er t o s t i p os :


S i l a b a s e B e s n o rm a d a (v e c t o r e s u n it a r i o s)
ya que cos 0 = 1
ya que cos 90 = 0



S i l a b a s e B e s o r t o g o n a l ( v e c t o r e s pe r p e n d i c u l ar e s)
; cos0 = 1



S i l a b a s e B e s o r t o n o r m a l ( v e c t o r e s u n i t a r i o s y p er p e n di c u l a r es )

Nenina Martín Ossorio
Matemáticas II 3

PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES
E l p r o d u c t o v e c t o r i a l d e d o s v e c t o re s e s o t r o v e c t o r
o
1º Si

y

q u e s e d e si g n a p o r

y qu e s e o b t i e n e d e l s i gu i e n t e m o d o:
son dos vectores no nulos y no proporcionales

es un vector

de:

2º Si



M ó d u l o e s i g u a l a:



D i r e c c i ó n e s p e r p en d i c u l a r a l o s d o s ve c t o r e s



S e n t i d o ig u a l a l a v an c e d e u n s a c a c o r ch o s a l g ir ar d e
ó

ó

y

a

.

s o n p r o p o r ci o n a l e s s e ti e n e q u e

x

Interpretacióngeométrica del producto vectorial
G e o m é t r i c a m e n t e , e l m ó d u l o d e l p r o d u c t o v e c t o r i a l d e d o s v e c t o r e s c o i n c id e
c o n e l á r e a d e l p a ra l e l o g r a m o q u e t i e ne p o r l a d o s a e s os v e c t o r e s .


El

área

del paralelogramo es el

producto de la base por la altura

Nenina Martín Ossorio
Matemáticas II 4...