Mariposa

Definición
La integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas, especialmente en los campos del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.
Dada una función f(x) de una variable real x y un intervalo [a,b] de la recta real, la integral
es igual al área de la región del plano xy limitada entre lagráfica de f, el eje x, y las líneas verticales x = a y x = b, donde son negativas las áreas por debajo del eje x.
La palabra “integral” también puede hacer referencia a la noción de primitiva: una función F, cuya derivada es la función dada f. En este caso se denomina integral indefinida, mientras que las integrales tratadas en este artículo son las integrales definidas. Algunos autores mantienen unadistinción entre integrales primitivas e indefinidas.
Integral definida: Proceso de cálculo de áreas encerrada entre una curva y un eje cartesiano.
Función Primitiva: Relación dependiente de datos sobre uno (o más) valores, que declaran los límites de un área. Es la razón del por qué se le llama función primitiva, al ser la base del cálculo integral.
Sean F y f dos funciones definidas sobre elmismo intervalo (o, más generalmente, dominio).
F es una primitiva de f si y sólo si f es la derivada de F: F’ = f.
Mientras que la derivada de una función, cuando existe, es única, no es el caso de la primitiva, pues si F es una primitiva de f, también lo es F + k, donde k es cualquier constante real.

Integral definida
Cuando el número de divisiones del intervalo [a, b] crezcaindefinidamente las áreas por defecto, SD, y por exceso, SE,  coincidirán y  ese valor común será el área encerrada.
Integral definida
Supongamos que f es una función continua y positiva en el intervalo [a, b].
Definición  Se llama partición de [a, b] a todo conjunto ordenado de puntos de [a, b], donde el primero es a y el último b. Es decir
P={p0, p1,......,pn}      a= p0<p1<.....<pn= bLlamaremos diámetro de una partición P a la mayor de las diferencias pi-pi-1, i=1,2, ..,n
Sean  mi = mín f(x)], Mi = máx f(x),      x[pi-1, pi]
Definición. Llamaremos suma inferior de f para la partición P de [a, b] y escribiremos  s(f.P), a:

propiedades
Se enuncian algunas propiedades y teoremas básicos de las integrales definidas que ayudarán a evaluarlas con más facilidad.
1) donde c es unaconstante
2) Si f y g son integrables en [a, b] y c es una constante, entonces las siguientes propiedades son verdaderas:
(se pueden generalizar para más de dos funciones)
3) Si x está definida para x = a entonces = 0
4) Si f es integrable en [a, b] entonces
5) Propiedad de aditividad del intervalo: si f es integrable en los dos intervalos cerrados definidos por a, b y c entonces f es mayo que 0pero
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La integral de la suma de dos funciones es igual a la suma de las integrales de dichas funciones:

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La integral del producto de un número real     por una función es igual al producto de     por la integral de dicha función:

Teorema del valor medion cálculo diferencial, el teorema de valor medio (de Lagrange), también llamado teorema de los incrementos finitos, teorema de Bonnet-Lagrange o teoría del punto medio es una propiedad de las funciones derivables en un intervalo. Algunos matemáticos consideran que este teorema es el más importante de cálculo (ver también el teorema fundamental del cálculo integral). El teorema no se usa para resolverproblemas matemáticos; más bien, se usa normalmente para demostrar otros teoremas. El teorema de valor medio puede usarse para demostrar el teorema de Taylor ya que es un caso especial.
El conocimiento del significado de la derivada de una función en un punto, y de la ecuación punto-pendiente de una recta, permiten deducir que la ecuación de la recta tangente en un punto de la curva es:...