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Cálculo de varias variables
Un objetivo primordial en el análisis económico es entender cómo un cambio en una variable económica afecta a la otra. El capítulo 3 demostró que el cálculo de una variable es la principal herramienta para la comprensión de los efectos de tales cambios en las relaciones económicas que se definen por las funciones de una sola variable: y = ƒ (x).
En este capítulo seintroduce el cálculo multivariable como la principal herramienta para la comprensión de cómo las variables afectan a los demás en las relaciones económicas descritas por funciones de varias variables: y = ƒ (x₁, ..., xn)
14.1 Definiciones y ejemplos
Para aplicar el cálculo para el estudio de funciones de varias variables, tomamos el enfoque más simple. Nosotros cambiamos una variable a la vez,manteniendo todas las demás variables constantes. Dado que en este caso no estamos mirando a la variación total de ƒ, pero sólo la variación parcial - la variación provocada por el cambio en una sola variable, por ejemplo xi - el correspondiente derivado se llama la derivada parcial de ƒ con respecto a xi. Está escrito δƒ /δx con el griego d's (deltas) en lugar de la d's Romana.
Otras maneras dereferirse a δƒ /δx incluyen ƒ i, ƒ xi, y el Di ƒ. Recordemos que la derivada de una función ƒ de una variable en x₀ es:
δƒ /δx (x₀) = lim ƒ (x₀ +h) – ƒ (x₀) /h
La derivada parcial con respecto a la xi, de una función ƒ (x₁, ..., xn) de varias variables en
x⁰ = (x₁⁰, ..., xn⁰) se define de una manera similar.
Definición. Sea ƒ: Rⁿ→ R. Entonces para cada variable xi, en cada x⁰ = (x₁⁰, ...,xn⁰) en el dominio de ƒ,
δƒ /δx (x₁⁰, ..., xn⁰) = lim ƒ (x₁⁰,…, xi⁰ +h,…, xn⁰) – ƒ (x₁⁰,…, xi⁰,…, xn⁰) /h
si este límite existe. Sólo cambia la i-ésima variable, los otros son tomados como constantes.
Ejemplo. Considere la función ƒ(x,y)=3x²y²+ 4xy³+7y
Calculamos δƒ /δx tomando a y como una constante. El primer término x² es veces a la "constante" (3y²), por lo que su derivada es 2x vecesla constante, es decir,
δ(3x²y²)/δx =2x3y²=6xy²
El segundo término es una "constante" por x, su derivada es la constante
δ(4xy³)/δx= 4y³

Por último, tomando 7y como una constante en el cálculo de δ/δx, su derivada es 0:
δ(7y)/δx= 0

Poniendo todo esto junto con el hecho de que la derivada de la suma es la suma de los derivados:
δ(3x²y² + 4xy³ + 7y )/δx = 6xy² + 4y³
Para calcular laderivada parcial con respecto a y, tomando a x como una constante. El primer término de ƒ es y² veces a la constante, y su derivada es 2 veces la constante:
δ(3x²y²)/δy= (2y)(3x²)= 6xy²
El segundo término es y³ veces una constante, y su derivado, y es 3y² veces la constante:
δ(4xy³)/δy= ( 3y²)(4x)=12xy²
Finalmente, la derivada de 7y es, por supuesto, 7. Poniendo estos cálculos juntos, nosencontramos con
δ(3x²y² + 4xy³ + 7y)/δy= 6xy² + 12xy² + 7
Ejercicios
Calcular todas las derivadas parciales de las siguientes funciones: (GUIA)
Calcular las derivadas parciales de la función de producción Cobb-Douglas(GUIA) y de la elasticidad de sustitución constante (CES), la función de producción (GUIA), suponiendo que todos los parámetros son positivos.

14.2 Interpretación EconómicaProductos marginales
Para una función y = ƒ (x) de una variable, la derivada ƒ '(x) medida (infinitesimalmente) a la forma ∆x-cambio en x afecta a y:
∆y ≈ ƒ '(x) ∆x
La misma interpretación se aplica a las funciones de varias variables. Por ejemplo, sea
Q = F (K, L) una función de producción que relaciona la producción Q a las cantidades de entrada de capital K y de entrada de trabajo de L. Si laempresa está actualmente utilizando K * unidades de capital y L * unidades de mano de obra para producir
Q* = F (K *, L *) unidades de producción, entonces la derivada parcial de δF/δK(K*,L*) es la velocidad a la que los cambios de producción con respecto al capital K, manteniendo L fijado en L *. Si los aumentos de capital por parte de * K, entonces la producción se incrementará en ∆Q ≈...