Markov Con Beneficios Y Decisiones

Universidad de Chile
Facultad de Ciencias F´ısicas y Matem´aticas
Departamento de Ingenier´ıa Industrial

´ OPERATIVA
IN44A: INVESTIGACION

Cadenas de Markov con Beneficios y Decisiones
Denis Saur´
e V.
Julio, 2003.

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1.

Problemas de Cadenas de Markov con Beneficios y Decisiones

1. El mercado de las financieras de cierto pa´ıs est´a compuesto por N financieras que prestan sus servicios
a unmercado potencial de K clientes.
Un cliente que en un per´ıodo se encuentra sin cr´edito va a pedir uno en el per´ıodo siguiente con
probabilidad q. Adem´as si pide un pr´estamo lo debe pagar al per´ıodo siguiente y mientras no lo pague
no puede acceder a otro cr´edito en ninguna instituci´
on del sistema financiero.
Cada vez que un cliente paga la deuda la financiera obtiene un beneficio de B [$]. Siun cliente no paga el
cr´edito, la financiera traspasa la cobranza a una empresa externa (incurriendo en un costo C [$]) la que
se demora 1 per´ıodo en solucionar el problema. La probabilidad de que un cliente no pague el cr´edito
inmediatamente es p. Suponga que un cliente que acaba de pagar su deuda (ya sea inmediatamente o
despu´es de recibir la visita de un cobrador) no pide inmediatamente unnuevo cr´edito. Los costos fijos
de operaci´
on, por per´ıodo, de una finaciera son θ [$].
a)

Construya una cadena de Markov que represente el estado financiero de una persona en particular.
Identifique los estados y probabilidades de transici´
on.

b)

Utilizando el resultado de la parte anterior formule una cadena de Markov con beneficios que
describa los costos e ingresos para una financiera,asociados con los cr´editos otorgados a un
cliente. Determine las probabilidades estacionarias (¿Por qu´e existen?), el beneficio esperado por
transici´on en el estado estacionario (g) y el vector de beneficios relativos asint´
otico (W ).

c) ¿Cu´
al es el beneficio esperado que le reporta un cliente a una financiera en un horizonte de t
per´ıodos?.
d ) Considerando el c´
alculo anterior determine elbeneficio esperado de operaci´on de una financiera
durante t per´ıodos. Determine el n´
umero de financieras que operar´
an en el largo plazo, explicando
claramente su razonamiento.
2. Considere un mercado laboral que opera de la forma que se describe a continuaci´on. Cada mes un
trabajador puede ya sea conservar o perder su actual empleo. La probabilidad que conserve su trabajo
depende s´
olo del n´
umerode meses que lleva en ´el, siendo p1 la probabilidad que un trabajador que acaba
de terminar su primer mes de trabajo conserve su empleo para el mes siguiente, p2 la probabilidad que
un trabajador que lleva 2 meses empleado conserve su trabajo un mes m´as y p3 la probabilidad que
un trabajador que lleva 3 o m´
as meses empleado conserve su trabajo por un mes m´
as. Un trabajador
que est´
adesempleado en un mes dado seguir´a en esa condici´
on el mes siguiente con probabilidad p0 , y
conseguir´
a empleo con probabilidad 1 − p0 . Cuando un trabajador pierde un empleo pasar´
a al menos
1 mes desempleado.
El sueldo de un trabajador es de w1 [$/mes] en su primer mes de trabajo en un empleo, w2 [$/mes]
en su segundo mes de trabajo y w3 [$/mes] en el tercero o cualquier mes posterior. Lostrabajadores
deben destinar cada mes una fracci´on f de su sueldo a pagar un seguro de desempleo administrado por
el estado. Cuando un trabajador est´a desempleado el estado le proporciona un ingreso de H [$/mes].
a)

Modele la situaci´
on laboral de un trabajador (si est´
a empleado o desempleado) como una Cadena
de Markov. Justifique la existencia de una ley de probabilidades estacionarias e indiquec´omo
calcularlas (no es necesario que las calcule).

b)

¿Cu´
anto tiempo pasa, en promedio, desde que una persona pierde su trabajo hasta que consigue
uno nuevo?.

c) Calcule cu´al debe ser el valor de f para que el estado pueda, en promedio, financiar los beneficios
que otorga a quienes est´
an desempleados con los pagos realizados por los trabajadores por concepto
de seguro de desempleo...