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Introducción a las ecuaciones diferenciales ordinarias

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TEMA 9 - INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES
DIFERENCIALES ORDINARIAS
1. Introducción.
Definición.
Se denomina ecuación diferencial a cualquier ecuación en la que aparecen
relacionadas:
*) Una o varias variables independientes.
*) Una variable dependiente de ella o ellas.
*) Derivadas de la variable dependiente respecto a una o másvariables
independientes.
Notación:
A la variable independiente, cuando sólo sea una, se la representará por x (o por t).
En el caso de haber más de una se las denotará con subíndices x1 ,..., x m .
A la variable dependiente, también llamada función incógnita o función solución, se
la denotará por y(x), o cuando no haya lugar a confusión, simplemente por y.
Definición.
Se denominaecuación diferencial ordinaria (e.d.o.) a toda ecuación diferencial en
la que la variable dependiente depende sólo de una variable independiente.
Definición.
Se denomina ecuación diferencial en derivadas parciales a toda ecuación
diferencial en la que la variable dependiente depende de más de una variable
independiente.
Definición.
Se denomina orden de una e.d.o. al mayor orden de derivación de lavariable
dependiente que interviene en la e.d.o..
Definición.
Se denomina grado de una e.d.o. al mayor exponente, si es un número natural, al
que está elevada la derivada de mayor orden de la variable dependiente que
interviene en la e.d.o..
Definición.
Se denomina e.d.o. lineal de orden n a toda e.d.o. de orden n en la que la derivada
de orden n de la variable dependiente, y ( n ( x)depende linealmente de
y ( x), y ' ( x), y ' ' ( x), ..., y ( n −1 ( x) . En otros términos estas ecuaciones serán de la
forma:
a n ( x). y ( n ( x) + a n −1 ( x). y ( n −1 ( x) + ... + a1 ( x). y ' ( x) + a 0 ( x). y ( x) = b( x)
donde las a 0 ( x), a1 ( x), ..., a n ( x) y b( x) son funciones cualesquiera de la variable
independiente x.
Definición.

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Se denomina solución general de una e.d.o. de orden n a la familia de funciones
dependientes de n parámetros que verifican la e.d.o..
Definición.
Se denomina solución singular de una e.d.o. de orden n a toda función y(x) que
verifique la e.d.o. y no pertenezca a la familia de funciones que constituyen la
solución general de la e.d.o..
Definición.
Se denomina soluciónparticular de una e.d.o. de orden n a toda función y(x) que
verifica la e.d.o..
Definición.
Se denomina problema de Cauchy al problema:
“Siendo I un intervalo abierto de R, y siendo f ( x, y,..., y ( n −1 ) una función
conocida, definida en I × R n , encontrar una función:
y: I → R
x → y ( x)
verificando la e.d.o.:
y ( n = f ( x, y, y ' ,..., y ( n −1 ) ∀x ∈ I
y la condiciones:
y ( x 0) = y 0 , y ' ( x 0 ) = y ' 0 , ..., y ( n −1 ( x 0 ) = y 0 ( n −1
n
'
donde x0 ∈ I e y 0 , y 0 ,..., y 0 ( −1 son n valores conocidos”.

NOTA:
En los problemas de Cauchy que aparecen en las aplicaciones prácticas, en
ocasiones la variable x representa el tiempo y el punto x0 en el que se fijan los
valores de la función y sus derivadas es el extremo izquierdo del intervalo I (es
decir el“instante inicial”). Por eso en dichas ocasiones este tipo de problemas se
conoce también con el nombre de problemas de valores iniciales.
Definición.
Siendo I un intervalo abierto de la recta real, y siendo f ( x, y,..., y ( n −1 ) una función
conocida, definida en I × R n , se denomina problema de contorno al problema de
encontrar una función:
y: I → R
x → y ( x)
solución de la e.d.o.:
y( n = f ( x, y, y ' ,..., y ( n −1 ) ∀x ∈ I
y tal que la función y/o algunas de sus derivadas toman valores predeterminados en
puntos diferentes del intervalo I.
Definición.
Se denomina curva integral de una e.d.o. a la gráfica de cualquier solución de la
e.d.o..

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Teorema.

∂f
( x, y ) son funciones
∂x
continuas...