Martín Linares Noemí Act 3

ACTIVIDAD 2. DIVISIBILIDAD EN N Y SU DIDÁCTICA
EL CAMPO TRIANGULAR. En el contorno de un campo triangular situado en San Lorenzo (Las Palmas de Gran Canaria), de lados 80, 90 y 120 metros, respectivamente, se han plantado árboles igualmente espaciados. Calcula el número de árboles plantados, sabiendo que hay uno en cada vértice y que la distancia de dos consecutivos es la máxima posible. ¿Cuáles el valor de la citada distancia?
Describe, detalladamente, qué competencias matemáticas PISA se han desarrollado en esta actividad y clasifícala según las diferentes demandas cognitivas que son necesarias para resolverla (reproducción, conexión y reflexión).
 (Consulta el documento Pdf: “PROGRAMA-PISA-INFORME-BASICO”).
Para la realización de este ejercicio podemos llegar a obtener el resultadomediante tres pasos:
Descomposición en factores primos.
Comenzamos por descomponer los lados del triángulo.
80= ·5
90= 2··5
120= ·3·5
Para saber cuál es el máximo común divisor de 80, 90 y 120 debemos coger los números que se repiten en su descomposición al menor exponente. Así el M.C.D es 2·5= 10
Otra forma de conocer el M.C.D es:
La expresión matemática que nos permite saber cuántos divisorestiene un número es la siguiente: 2α · 3β · 5λ, donde α≤2, β≤1 y λ≤1
Por lo tanto:
80 (5 · 2) = (4+1) (1+1) = 10
80 tiene 10 divisores
90 (3 · 2 · 2) = (2+1) (1+1) (1+1) = 12
90 tiene 12 divisores
120 (4· 2 · 2) = (3+1) (1+1) (1+1) = 16
120 tiene 16 divisores

Divisores de 80: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, 80
Divisores de 90: 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90
Divisores de 120: 1, 2, 3, 4,5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120
Los divisores que tienen en común 80, 90 y 120 son 1, 2, 5 y 10. Entonces el M.C.D es el mayor divisor común a ambos números, en este caso es 10.
Por lo tanto hay un árbol cada 10 metros
Cuadrícula.
Para la realización de estas cuadrículas debemos escribir los factores distintos en una fila ordenados de menor a mayor. En la columna correspondiente acada factor aparece éste tantas veces como se repite en la descomposición. Es por esto que las cuadrículas pertenecientes a 80, 90, 120 consecutivamente quedan de la siguiente manera:
2


2


2


2
5






3

2
3
5


2


2


2
3
5

Para saber cuál es el M.C.D debemos superponer las cuadrículas.
2


2


2
3

2
3
5

Las casillas sombreadas son aquellas comunes en ambos números y es el valor quebuscamos: 2·5= 10
Diagrama de Venn.
Para llevar a cabo esta representación debemos poner los factores de la descomposición de cada número dentro del diagrama. El número que buscamos coincide con el producto de los factores primos comunes afectados del menor exponente.En el anterior diagrama debería haber:
en la zona rosa un 2
en la zona violeta un 3
donde se une el rosa y el verde dos 2
donde se une el violeta y el verde un 3
y donde se unen los tres colores un 2 y un 5.
El M.C.D mediante el diagrama de Venn es el producto de los elementos que pertenecen a la intersección de los tres conjuntos (2 · 5 = 10)Para saber el número de arboles que hay plantados debemos conocer el perímetro del triángulo: P = (a + b + c)
P = 80 + 90 + 120 = 290
Ahora dividimos el perímetro entre la distancia máxima entre los arboles (10).
290/10 = 29
En el contorno del campo hay 29 arboles
Para saber cuántos arboles hay en cada lado del triángulo pasamos a calcularlo por separado:
80/10= 8 arboles
90/10= 9 arboles
120/10= 12arboles

Teniendo en cuenta que en cada vértice hay uno sabemos que éstos se repiten por lo que a las cantidades obtenidas anteriormente le debemos quitar el número de vértices del triángulo, es decir, 3.
29 – 3 = 26
Por lo tanto en total hay 26 árboles en el contorno del campo.
El croqui que representa los arboles en el campo es el siguiente:


El programa PISA es un estudio periódico y...