Martingalas

02-12-2012

Derivados dependientes de una única
variable subyaciente

Capítulo 27

Considere la variable (no necesariamente el precio de un
activo) que sigue el proceso

Martingalas y Measures

Imagine dos derivados dependientes de
. Suponga

con precios

y

Eduardo Ibarra

Formando un portafolio sin riesgo
Podemos formar un portafolio libre de riesgo Π consistente
enPrecio de mercado del riesgo
Como el portafolio es libre de riesgo,
de aquí,

del primer derivado
del segundo derivado
es constante para cualquier derivado
dependiente de la misma variable
⇒
es el llamado precio de mercado del riesgo
para y se denota como
⇒

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Extensión del análisis para varias
variables subyacientes

Mundos alternativos
En el mundo tradicionallibre de riesgo,

Si

depende de varias variables subyacientes, con

y siendo el precio de mercado del riesgo ,
Entonces

Martingalas
o Martingala es un proceso estocástico con
media cero
o Una variable que sigue una martingala tiene la
propiedad de que su valor futuro esperado es
igual a su valor presente

Medida neutral al riesgo (The
equivalent martingale measure)
Sean f y g losprecios de activos dependientes de una única
fuente de riesgo. Asuma que los securities no proveen
ingresos durante el periodo bajo consideración y
definimos
. .La variable es el precio relativo de
f con respecto a g. Puede ser pensado como una medida
del precio de f en unidades de g en lugar de dólares.
El security price de g es llamado numerario.

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Medida neutral alriesgo (The
equivalent martingale measure)
The equivalent martingale measure result muestra que,
cuando no hay oportunidades de arbitraje, es una
martingala para alguna opción del precio de mercado
de riesgo.

Medida neutral al riesgo (The
equivalent martingale measure)

Si establecemos
, entonces el lema de Ito muestra
que
es una martingala para todos los precios con
valor derivado fPara un g dado, la misma opción del precio de mercado
del riesgo hace a una martingala para todo f. Esta
opción del precio de mercado del riesgo es la
volatilidad de g.

Forward neutro al riesgo
Nos referimos a un mundo donde
como un mundo
que es forward neutro al riesgo (FRN) con respecto a g.
Si

denota la esperanza en un mundo FRN con respecto a
g,

Diferentes alternativascomo
numerario
Ejemplos del Equivalent Martingale Measure Result:
o Cuenta de mercado monetario como numerario
o Precio del bono cero cupón como numerario
o Tasas de interés cuando el precio del bono es el
numerario
o Factor de anualidad como numerario

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Cuenta de mercado monetario como
numerario
La cuenta de mercado monetario es una cuenta que
comienza en $ 1 y estásiempre invertido a la tasa de
interés libre de riesgo a corto plazo. r puede ser
estocástica
Si igualamos g a la cuenta de mercado monetario, esta
crece a tasa r, entonces

o Como
,
es una martingala en un mundo
tradicional neutro al riesgo.

Cuenta de mercado monetario como
numerario
Como

el precio de un bono cero cupón en t que paga $1 en
y
, la ecuación

se transforma en

,la ecuación

queda

Si r es constante, entonces

Bono cero cupón como numerario
Sea
T. Si

y

Bono cero cupón como numerario
Considere cualquier variable (no una tasa de interés). Un
contrato forward sobre con maduración T paga
en T. f es el valor del contrato forward. Entonces,

El precio forward F es el valor de K para el cual

. Luego,

o
denota la esperanza en un mundoFRN con respecto al precio del
bono

El precio forward ∀ variable (excepto tasa de interés), es su
precio spot esperado en un mundo FNR c/r a

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Tasas de interés
En un mundo forward neutro al riesgo con
respecto a
el valor esperado de una
tasa de interés entre
y es la tasa de
interés forward

Factores de anualidad y tasas swap
Suponga que
es la tasa swap...