Martrices

ALGEBRA DE MATRICES
DEFINICION
* Las matrices y los determinantes son herramientas del álgebra que facilitan el ordenamiento de datos, así como su manejo.
* Una matriz es una tabla bidimensional de números en cantidades abstractas que pueden sumarse y multiplicarse.

* Las matrices se utilizan para describir sistemas de ecuaciones lineales, y registrar los datos que dependen devarios parámetros.
* Las matrices se describen en el campo de la teoría de matrices. Pueden descomponerse de varias formas.

* Una matriz es una tabla cuadrada o rectangular de datos (llamados elementos) ordenados en filas y columnas, donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales. A una matriz con m filas y n columnasse le denomina matriz m-por-n (escrito m×n), y a m y n dimensiones de la matriz.

* Al elemento de una matriz que se encuentra en la fila i-ésima y la columna j-ésima se le llama elemento ai,j o elemento (i,j)-iésimo de la matriz. Se vuelve a poner primero las filas y después las columnas.
* Abreviadamente se puede expresar A = (aij) Cada elemento de la matriz lleva dos subíndices.
*El primero de ellos “i”, indica la fila en la que se encuentra el elemento, y el segundo, “j”, la columna.
* Ejemplos: Son ejemplos de matrices los siguientes:

* A tiene 2 filas y 2 columnas, diremos que su tamaño es (2x2). Qué elemento es a21?.
* B tiene 2 filas y 3 columnas, diremos que su tamaño es (2x3). Qué elemento es b23?.
* C tiene 4 filas y 3 columnas, diremos que sutamaño es (4x3). Qué elemento es c42?.

DEFINICIONES -> TIPOS DE MATRICES
* Se llama matriz nula a la que tiene todos los elementos cero, Por ejemplo:

* Se llama matriz fila a la que sólo tiene una fila, es decir su dimensión es (1xn). Por ejemplo:

* Se llama matriz columna a la que sólo consta de una columna, es decir su dimensión será (mx1), como por ejemplo:

* Unamatriz es cuadrada cuando tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir su dimensión es (nxn).

* Dentro de las matrices cuadradas llamaremos diagonal principal a la formada por los elementos a11, a22, a33, . . ., ann, siendo la matriz:

* En la matriz D del ejemplo anterior, su diagonal principal estaría formada por 1, 5, 0.
* Se llama traza de la matriz a la suma de loselementos de la diagonal. Es decir, Traza (A)=a11+a22+a33 + . . . + ann, y en el caso de D, Traza (D)= 1+5+0 = 6.
* La diagonal secundaria es la formada por los elementos a1n, a2,n−1, a3,n−2, . . ., an1. En la matriz D estaría formada por 3, 5, -3.

* Una matriz es triangular superior si todos los elementos por debajo de la diagonal principal son nulos.

* Y triangular inferior sison nulos todos los elementos situados por encima de dicha diagonal. Son ejemplos de estas matrices:

* Si una matriz es a la vez triangular superior e inferior, sólo tiene elementos en la diagonal principal. Una matriz de este tipo se denomina matriz diagonal.

* Si una matriz diagonal tiene en su diagonal principal sólo unos, se denomina matriz unidad ó identidad. Se suelen representarpor In.

OPERACIONES BÁSICAS -> SUMA Y RESTA
* La suma-resta no esta definida para matrices de diferentes tamaños.
* Dadas dos matrices A y B podemos realizar su suma o diferencia de acuerdo a la siguiente regla. Para sumar o restar dos matrices del mismo tamaño, se suman o restan los elementos que se encuentren en la misma posición, resultando otra matriz de igual tamaño, Porejemplo:

Propiedades.
a) Conmutativa: A + B = B + A
b) Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C
c) Elemento neutro: La matriz nula del tamaño correspondiente.
d) Elemento opuesto de A: La matriz -A, que resulta de cambiar de signo a los elementos de A, por ejemplo:

PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE APLICACIÓN
* Las exportaciones, en millones de euros, de 3 países A, B, C a otros tres...