Mas Alla Del Biobio

Théorème du toit
Si on a :
  • deux droites parallèles d1 et d2,
  • un plan P1 contenant d1,
  • un plan P2 contenant d2,
alors la droite d d'intersection des deux plans P1 et P2 est parallèle aux droites d1 et d2.
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Voir : intersection de plans
Wikipédia : théorème du toit

Théorème des trois perpendiculaires
Soit (d) est une droite contenuedans un plan (p) et M un point de l'espace.
Si H est le projeté orthogonal de M sur (p) et K est le projeté orthogonal de H sur (d), alors K est le projeté orthogonal de M sur (d).
Indication
La droite (MH) est orthogonale à (d) car elle est orthogonale au plan (p) qui contient la droite (d). (HK) est orthogonale à (d) par définition du point K. Le plan (MHK) est donc orthogonal à (d) car ilcontient deux droites sécantes orthogonales à (d). Par suite, (d) est orthogonale à toute droite de (MHK) et en particulier à (MK) ce qui prouve que K est le projeté orthogonal de M sur (d).
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1. Règle d'incidence
Pour montrer l'alignement de trois points dans l'espace, on peut montrer que ces trois points sont communs à deux plans sécants, ils sontalors sur la droite d'intersection de ces deux plans.
A, B et C sont trois points non alignés n'appartenant pas à un plan (p).
La droite (AB) coupe le plan (p) en C’,
la droite (AC) coupe le plan (p) en B’,
la droite (BC) coupe le plan (p) en A’.
Les points A’, B’ et C’ sont alignés.
En effet, ils appartiennent à la droite d'intersection des deux plans sécants (ABC) et (p).
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Montrer un alignement
Exercice
Dans l'espace, soit trois demi-droites distinctes (d1), (d2), (d3) d'origine O.
Sur chaque demi-droite on place deux points : A1 et B1 sur (d1) ; A2 et B2 sur (d2) ; A3 et B3 sur (d3).
Les droites (A1A2) et (B1B2) se coupent en I, (A2A3) et (B2B3) en J et (A1A3) et (B1B3) en K
Que peut-on dire des points I, J et K ?
Étudier lessituations de parallélisme : (A1A2) // (B1B2) par exemple.
Indication
Considérer l'intersection des plans (A1A2A3) et (B1B2B3).
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Intersection d'une droite et d'un plan
Dans le cube ABCDEFGH ci-contre, I et J sont deux points des faces (ABFE) et (BCGF).
Trouver le point d'intersection (éventuel) de la droite (IJ) avec le plan (EFG).
IndicationTrouver un plan (p) contenant la droite (IJ). Si ce plan n'est pas horizontal, il coupe le plan (EFG) selon une droite (d). Lorsqu'il existe le point M, intersection des droites (d) et (IJ), est le point où la droite (IJ) rencontre le plan de la face supérieure du cube.
Par exemple, trouver un plan vertical contenant (IJ) :
Soit I’ la projection orthogonale de I sur la droite (EF) et J’ la projectionde J sur (FG). (II’) et (JJ’) sont deux droites parallèles, les points I, J, I’ et J’ sont coplanaires dans un plan (p). Les plans (p) et (IJ) se coupent selon la droite (I’J’).
Si les droites (IJ) et (I’J’) sont parallèles, la droite (IJ) est parallèle à la face (EFGH), sinon les droites se coupent en M qui est le point d'intersection de la droite (IJ) avec le plan (EFG).
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Point fixe
A, B, P et P’ sont trois points d'un plan (p), les droites (AP) et (BP’) n'étant pas parallèles.
Selon la figure ci-contre, sur la demi-droite (d) passant par le point P, perpendiculaire au plan (p), on place un point M variable.
Le plan (ABM) coupe la demi-droite (d’), passant par P’ perpendiculaire au plan (p), au point M’.
Les droites (AM) et (BM’) secoupent en I, et (AM’) et (BM) en J.
Lorsque l'on déplace le point M, quel est le lieu géométrique de I ? de J ?
Montrer que la droite (IJ) passe par un point fixe.
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2. Droites parallèles
Dans le cube ABCDEFGH ci-contre, I est le milieu de [EF] et J le milieu de [FG].
La droite (BI) coupe (AE) en M et la droite (BJ) coupe (CG) en N.
Montrer que...