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5. Temas adicionales sobre la probabilidad

5.1 Probabilidad condicional

Las probabilidades hasta ahora vistas proporcionan las frecuencias relativas de los eventos cuando el experimento se repite un gran número de veces. Estas son llamadas probabilidades incondicionales ya que no suponen condiciones especiales asociadas al experimento.

Ejemplo 1: Las caras de un dado con 1, 2, 3 puntosse pintan de rojo. Si se lanza el dado. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una cara roja o un número impar?
Sean:

A = {Obtener una cara roja}

B = {Obtener un número impar}

A = {1, 2, 3}

B = {1, 3, 5} A(B = {1, 2, 3, 5}

P (A(B) = P (1) + P (2) + P (3) + P (5)

P (A(B) = 1/6+ 1/6+ 1/6+ 1/6 = 4/6; P (A(B) = 2/3

Supongamos ahora que lanzamosel dado y podemos ver una cara roja, pero no podemos ver el número de puntos sobre ella. ¿Cuál es la posibilidad de que el número de puntos sea impar?

El espacio muestral:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; se redujo a

S1 = {1, 2, 3} ya que como 4, 5, 6 no están pintados de rojo se eliminan.

El nuevo conjunto A ( B sería: A ( B = {1,3}.

P(A ( B)= P (1)+ P (3)

P(A (B) = 1/3+ 1/3 = 2/3

Si hubiéramos utilizado un dado común la probabilidad de un número impar seria = 3/6. Podemos ver que el conocimiento de que la cara está pintada de rojo, nos permite calcular una probabilidad condicional en un espacio muestral reducido S´

Ejemplo 2 : Hemos visto que la probabilidad de observar un número par (evento A) en un lanzamiento de un dado es de ½. Suponga que encierto lanzamiento del dado el resultado fue un número menor o igual a 3 (evento B). Pensaría usted todavía que la probabilidad de observar un número par en ese lanzamiento es igual a ½?

El que B ocurra reduce el espacio muestral de 6 eventos posibles a tan sólo 3 (los contenidos en el evento B)

El espacio muestral reducido será:

Concluimos que la probabilidad de que A ocurra, dado que Bocurre es 1/3. Utilizaremos es símbolo P (AIB) para representar esta probabilidad.

Generalizando:

Para determinar la probabilidad condicional de que el evento A ocurra, dado que B ocurre, divida la probabilidad de que ocurra tanto A como B entre la probabilidad de que ocurra B; esto es:

[pic] Donde suponemos P (B) ( 0.

[pic]

Ejemplo 3:

Un fabricante de procesadores delicuadoras realizó un análisis de quejas de los consumidores y determinó que estaban en las seis categorías siguientes:

|Razón de la queja |
| |Eléctrica |Mecánica |Aspecto |Totales |
|Durante el periodo degarantía |18% |13% |32% |63% |
|Después del periodo de garantía |12% |22% |3% |37% |
|Totales |30% |35% |35% |100% |

Si hay una queja porparte de un consumidor: ¿Qué probabilidad hay de que la causa de la queja sea el aspecto del producto, dado que la queja se originó durante el período de garantía?

A ={Queja por el aspecto del producto}

B ={Queja presentada durante el período de garantía}

- Vemos que el 63% de las quejas se presentaron en el tiempo de la garantía, luego P(B) =0.63.

- El porcentaje de quejas debido a laapariencia que se presentaron durante el período de garantía

(evento A (B) es del 32%. Luego P(A (B)=0.32

- Podemos calcular la probabilidad condicional P(AIB) de que la causa de la queja sea el aspecto, dado que la queja ocurrió durante el período de garantía por:

[pic]

- Concluimos que un poco más de la mitad de las quejas durante el período de garantía se debieron a rayones,...