MAT 2 2015 2

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
(UNIVERSIDAD DEL PERU, DECANA DE AMERICA)
FACULTAD DE
INGENIERIA INDUSTRIAL


TEORIA
CURSO:MATEMATICA II
PROFESOR:GONZALES CHAVEZ, máximo g.
SEMESTRE ACADEMICO: 2015 – 2
INTEGRAL INDEFINIDA
INTEGRAL DEFINIDA
APLICACIONES



DEFINICION
Sea la función y= f(x), diremos que F(x) es una funciónprimitiva de f(x) en el intervalo [a, b], cuando se verifica que:


Ejemplo
Sea , entonces , es una primitiva de f(x),
, es otra primitiva,
, es otra, ....
Porque al derivar F1(x), F2(x) y F3(x) se obtiene f(x).
Proposición.
Si F(x) es una primitiva de f(x) y C es una constante, entonces F(x) + C, también es una primitiva de f(x).Demostración
1) Si F(x) es una primitiva de f(x)
2) Además
es también primitiva de f(x).
Proposición
Si F(x) y G(x) son dos funciones primitivas de f(x) en [a, b], entonces su diferencia es una constante, es decir / F(x) – G(x) = C, siendo C una constante, para todos los puntos de dicho intervalo..
Demostración
1)Por hipótesis F(x) y G(x) son funciones primitivas, por definicióny :

Si una función tiene derivada en todos los puntos de un intervalo, entonces dicha función es constante en dicho intervalo, luego existe C constante tal que:

Dados los anteriores resultados podemos dar la siguiente definición de integral indefinida:
Definición
Llamaremos integral indefinida de f(x) a la familia de todas las primitivas def(x), es decir, la integral indefinida de f(x) es el conjunto:

A dicho conjunto lo representamos como
.
Ejemplo
Dada la función f(x) = 3x2, como F(x) = x3 es una primitiva de f(x) , la integral indefinida, es el conjunto de todas las funciones que resultan de sumarle un número real a F(x) = x3 , es decir:

Observación Es fundamentaltener siempre presente que la integral indefinida de una función es “una familia de funciones”.
Propiedades de la integral indefinida
b)

La demostración de estas propiedades se basan en las propiedades de las derivadas.

TABLA DE INTEGRALES (1)
La tabla de integrales es una consecuencia de la tabla de derivadas, ya que estamos haciendo el proceso inversoTABLA DE INTEGRALES (2)
La tabla de integrales (2) es un una tabla general, la tabla (1) es un caso especial de esta tabla








Ahora veamos algunos pasos previos antes de iniciar una INTEGRACION
Antes de realizar una integración, tratar de simplificar la expresión para “ver” si se puede descomponer en integrales que aparecen en la tabla :

EJEMPLOS
 1)
   Solución:Desarrollando :
Luego reemplazamos e integramos
2) 
  Solución:
  Descomponiendo la fracción en suma de fracciones:
       
Luego reemplazamos e integramos
 
                                           
3)                                   
Solución:
Trabajando en las potencias, luego simplificando:

Por ultimo integramos


4)Solución:
Si expresamos las razones trigonométricas en razones simples:

Luego integramos:

Hay integrales que a primera “vista” parecen difíciles, cuando ocurre esto, hay que observar y pensar en hacer algun cambio de variable .
METODOS DE INTEGRACION
Sustitucion Simple (1)
Definición


Cambio




Sustitucion Simple (2)

Cambio

EJEMPLOS:
1.
SOLUCION
Sustitucion simple(2). Cambio de variable , Reemplazando

2.
SOLUCION
Sustitucion simple (2). Cambio de variable , Reemplazando

3.
SOLUCION
Sustitucion simple (2). Cambio de variable , además . Reemplazando
5.
4.
SOLUCION
1) Sustitucion simple (2). Cambio de variable , Reemplazando


(OTRA FORMA)
1) Sustitucion simple (2). Cambio de variable , Reemplazando

5.
SOLUCION
1)...